확률론 에서 확률 변수 (確率變數, 영어 : random variable )는 확률 공간 에서 다른 가측 공간 으로 가는 가측 함수 이다.[ 1] [ 2] 공역 이 되는 가측 공간 위에 새로운 확률 측도 를 유도할 수 있도록 하기 위해 필요하다. 이 확률 측도는 흔히 확률 분포 라고 부른다.
확률 변수는 아직 실제로 나타나지는 않았지만 나타날 가능성이 있는 모든 경우의 수에 해당하는 값을 가질 수 있다. 주사위를 굴리는 등 실제로 무작위적인 시행에 대해서도 쓸 수 있고, 양자역학 처럼 예측 불가능한 물리적 변수의 시행 결과에 대해서도 확률 변수라는 단어를 사용한다. 이처럼 정확히 알지 못하는 어떤 양적 변수의 잠재적인 결과에 대해 확률이라는 단어를 쓸 수 있는가에 대한 논의 도 오랜 시간 동안 이루어져왔다.
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}
가측 공간
(
E
,
E
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}
확률 변수 는 가측 함수
X
:
(
Ω
,
F
)
→
(
E
,
E
)
{\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}})\to (E,{\mathcal {E}})}
가측 집합
S
∈
E
{\displaystyle S\in {\mathcal {E}}}
X
−
1
(
S
)
∈
F
{\displaystyle X^{-1}(S)\in {\mathcal {F}}}
확률 변수의 정의역
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}
확률 공간
확률 변수의 공역
(
E
,
E
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}
상태 공간 (狀態空間, 영어 : state space )이다. 확률 변수
X
:
Ω
→
E
{\displaystyle X\colon \Omega \to E}
E
{\displaystyle E}
확률 측도
Pr
(
X
∈
⋅
)
{\displaystyle \Pr(X\in \cdot )}
Pr
(
X
∈
S
)
=
Pr
(
X
−
1
(
S
)
)
∀
S
∈
E
{\displaystyle \Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad \forall S\in {\mathcal {E}}}
이는 확률 변수
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
X
−
1
(
S
)
=
{
ω
∈
Ω
:
X
(
ω
)
∈
S
}
{\displaystyle X^{-1}(S)=\{\omega \in \Omega \colon X(\omega )\in S\}}
이다.
만약 상태 공간이 위상 공간 인 경우, 상태 공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수 를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 보렐 시그마 대수 에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측 집합 의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.) 만약 정의역이 이산 확률 공간(즉, 모든 부분 집합이 사건인 확률 공간)일 경우, 모든 함수
Ω
→
E
{\displaystyle \Omega \to E}
가측 함수 이며, 따라서 정의에서 가측성 조건을 생략할 수 있다.
주사위를 던져 나오는 눈의 수를 추상화한 확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
Ω
=
{
1
,
2
,
…
,
6
}
{\displaystyle \Omega =\{1,2,\dots ,6\}}
F
=
P
(
{
1
,
2
,
…
,
6
}
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(\{1,2,\dots ,6\})}
Pr
(
{
1
}
)
=
Pr
(
{
2
}
)
=
Pr
(
{
3
}
)
=
Pr
(
{
4
}
)
=
Pr
(
{
5
}
)
=
Pr
(
{
6
}
)
=
1
/
6
{\displaystyle \operatorname {Pr} (\{1\})=\operatorname {Pr} (\{2\})=\operatorname {Pr} (\{3\})=\operatorname {Pr} (\{4\})=\operatorname {Pr} (\{5\})=\operatorname {Pr} (\{6\})=1/6}
을 생각하자. 즉, 1부터 6까지의 수가 나올 수 있으며, 각각의 수가 나올 확률은 같다. 이 확률 공간 위에 다음과 같은 확률 변수를 정의하자.
X
:
2
,
4
,
6
↦
0
{\displaystyle X\colon 2,4,6\mapsto 0}
X
:
1
,
3
,
5
↦
1
{\displaystyle X\colon 1,3,5\mapsto 1}
즉,
X
{\displaystyle X}
Pr
(
X
=
0
)
=
Pr
(
{
2
,
4
,
6
}
)
=
1
/
2
{\displaystyle \operatorname {Pr} (X=0)=\operatorname {Pr} (\{2,4,6\})=1/2}
마찬가지로, 홀수가 나올 확률은 다음과 같다.
Pr
(
X
=
1
)
=
Pr
(
{
1
,
3
,
5
}
)
=
1
/
2
{\displaystyle \operatorname {Pr} (X=1)=\operatorname {Pr} (\{1,3,5\})=1/2}
두 개의 주사위를 던진 결과의 확률 공간
(
Ω
×
Ω
,
F
×
F
,
Pr
×
Pr
)
{\displaystyle (\Omega \times \Omega ,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}},\operatorname {Pr} \times \operatorname {Pr} )}
을 생각하자. 즉, 두 주사위의 눈의 수는 서로 독립 이다. 두 눈의 수의 합을 나타내는 확률 변수
Y
:
(
i
,
j
)
↦
i
+
j
{\displaystyle Y\colon (i,j)\mapsto i+j}
의 확률 분포 는 다음과 같다.
Pr
(
Y
=
2
)
=
Pr
(
{
(
1
,
1
)
}
)
=
1
/
36
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=2)=\operatorname {Pr} (\{(1,1)\})=1/36}
Pr
(
Y
=
3
)
=
Pr
(
{
(
1
,
2
)
,
(
2
,
1
)
}
)
=
1
/
18
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=3)=\operatorname {Pr} (\{(1,2),(2,1)\})=1/18}
Pr
(
Y
=
4
)
=
Pr
(
{
(
1
,
3
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
1
)
}
)
=
1
/
12
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=4)=\operatorname {Pr} (\{(1,3),(2,2),(3,1)\})=1/12}
Pr
(
Y
=
5
)
=
Pr
(
{
(
1
,
4
)
,
(
2
,
3
)
,
(
3
,
2
)
,
(
4
,
1
)
}
)
=
1
/
9
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=5)=\operatorname {Pr} (\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\})=1/9}
Pr
(
Y
=
6
)
=
Pr
(
{
(
1
,
5
)
,
(
2
,
4
)
,
(
3
,
3
)
,
(
4
,
2
)
,
(
5
,
1
)
}
)
=
5
/
36
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=6)=\operatorname {Pr} (\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\})=5/36}
Pr
(
Y
=
7
)
=
Pr
(
{
(
1
,
6
)
,
(
2
,
5
)
,
(
3
,
4
)
,
(
4
,
3
)
,
(
5
,
2
)
,
(
6
,
1
)
}
)
=
1
/
6
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=7)=\operatorname {Pr} (\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\})=1/6}
Pr
(
Y
=
8
)
=
Pr
(
{
(
2
,
6
)
,
(
3
,
5
)
,
(
4
,
4
)
,
(
5
,
3
)
,
(
6
,
2
)
}
)
=
5
/
36
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=8)=\operatorname {Pr} (\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\})=5/36}
Pr
(
Y
=
9
)
=
Pr
(
{
(
3
,
6
)
,
(
4
,
5
)
,
(
5
,
4
)
,
(
6
,
3
)
}
)
=
1
/
9
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=9)=\operatorname {Pr} (\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\})=1/9}
Pr
(
Y
=
10
)
=
Pr
(
{
(
4
,
6
)
,
(
5
,
5
)
,
(
6
,
4
)
}
)
=
1
/
12
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=10)=\operatorname {Pr} (\{(4,6),(5,5),(6,4)\})=1/12}
Pr
(
Y
=
11
)
=
Pr
(
{
(
5
,
6
)
,
(
6
,
5
)
}
)
=
1
/
18
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=11)=\operatorname {Pr} (\{(5,6),(6,5)\})=1/18}
Pr
(
Y
=
12
)
=
Pr
(
{
(
6
,
6
)
}
)
=
1
/
36
{\displaystyle \operatorname {Pr} (Y=12)=\operatorname {Pr} (\{(6,6)\})=1/36}
Doob, Joseph L. (1996년 8월). “The development of rigor in mathematical probability (1900–1950)”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 103 (7). doi :10.2307/2974673 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2974673 . MR 1404084 . Zbl 0865.01011 . Kersting, Götz; Wakolbinger, Anton (2014). 《Zufallsvariable und Stochastische Prozesse》 (독일어). Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8432-6 Fahrmeir, Ludwig; Künstler, Rita; Pigeot, Iris; Tutz, Gerhard (2012). 《Statistik: Der Weg zur Datenanalyse》 (독일어) Auflage 7판. Springer. ISBN 978-3-6420-1938-8 Papula, Lothar (2011). 《Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3》 (독일어) Auflage 6판. Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3-8348-1227-8 
