누적 분포 함수

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$  위의 실숫값 확률 변수 ${\displaystyle X\colon \Omega \to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ 의 (우연속) 누적분포함수 ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 는 다음과 같다.

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {Pr} (X\in (-\infty ,x])\qquad \forall x\in \mathbb {R} }$ 

보다 일반적으로, 확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$  위의 실숫값 확률 벡터 ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})\colon \Omega \to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$ 의 (우연속) 누적분포함수 ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 는 다음과 같다.

${\displaystyle F_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in (-\infty ,x_{1}],\dots ,X_{n}\in (-\infty ,x_{n}])\qquad \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ 

위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 좌연속 누적분포함수의 정의를 얻는다.

임의의 함수 ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle F}$ 는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다.
• 다음 조건들을 만족시킨다.
  • (증가 함수) 만약 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ 이며 ${\displaystyle x\leq y}$ 라면, ${\displaystyle F(x)\leq F(y)}$ 
  • (우연속 함수) 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 에 대하여, ${\displaystyle F(x^{+})=F(x)}$ 
  • ${\displaystyle F(-\infty )=0}$ 
  • ${\displaystyle F(\infty )=1}$ 

여기서 ${\displaystyle F(x^{+})}$ 는 우극한이며, ${\displaystyle F(-\infty )}$ 와 ${\displaystyle F(\infty )}$ 는 음과 양의 무한대에서의 극한이다.

보다 일반적으로, 임의의 함수 ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle F}$ 는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다.
• 다음 조건들을 만족시킨다.
  • 만약 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ 이며 ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}\forall i\in \{1,\dots ,n\}}$ 이라면, ${\displaystyle \textstyle \sum _{t\in \{x_{1},y_{1}\}\times \cdots \times \{x_{n},y_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=x_{i}\}|}F(t)\geq 0}$ . (이 조건과 세 번째 조건은 ${\displaystyle F}$ 가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.)
  • (우연속 함수) 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 에 대하여, ${\displaystyle F(x^{+})=F(x)}$ 
  • 임의의 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$  및 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ 에 대하여, ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\dots ,x_{n})=0}$ 
  • ${\displaystyle F(\infty ,\dots ,\infty )=1}$ 

여기서

${\displaystyle F(x^{+})=\lim _{y_{1}\to x_{1}^{+},\dots ,y_{n}\to x_{n}^{+}}F(y)}$ 

${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\dots ,x_{n})=\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x)}$ 

${\displaystyle F(\infty ,\dots ,\infty )=\lim _{x_{1}\to \infty ,\dots ,x_{n}\to \infty }F(x)}$ 

이다.

확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

확률 변수 ${\displaystyle X}$ 가 구간 ${\displaystyle (a,b]}$ 에 속할 확률과 특정 실수 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 를 취할 확률은 누적분포함수 ${\displaystyle F_{X}}$ 를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in (a,b])=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$ 

${\displaystyle \operatorname {Pr} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})}$ 

보다 일반적으로, 확률 벡터 ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ 가 ${\displaystyle (a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]}$ 에 속할 확률과 특정 값 ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ 을 취할 확률은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} (X_{1}\in (a_{1},b_{1}],\dots ,X_{n}\in (a_{n},b_{n}])=\sum _{t\in \{a_{1},b_{1}\}\times \cdots \times \{a_{n},b_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=a_{i}\}|}F_{X}(t)}$ 

${\displaystyle \operatorname {Pr} (X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n})=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\sum _{t\in \{x_{1}-\epsilon ,x_{1}\}\times \cdots \times \{x_{n}-\epsilon ,x_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=x_{i}-\epsilon \}|}F_{X}(t)}$ 

확률 변수 ${\displaystyle X}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$ 는 이산 확률 변수이다. (즉, ${\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in A)=1}$ 인 가산 집합 ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ 이 존재한다.)
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{x\in \mathbb {R} }\left(F_{X}(x)-\lim _{y\to x^{-}}F_{X}(y)\right)=1}$ 

특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

확률 변수 ${\displaystyle X}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$ 는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Pr} (X=x)=0}$ 이다.)
• ${\displaystyle F_{X}}$ 는 연속 함수이다.

확률 변수 ${\displaystyle X}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$ 는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in \bullet )}$ 는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, ${\displaystyle X}$ 는 확률 밀도 함수를 갖는다.)
• ${\displaystyle F_{X}}$ 는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다.

확률 변수 ${\displaystyle X}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$ 는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in \bullet )}$ 와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.)
• 르베그 거의 어디서나 ${\displaystyle F_{X}'=0}$ 이다.

임의의 누적분포함수 ${\displaystyle F}$ 는 이산 누적분포함수 ${\displaystyle F_{\operatorname {disc} }}$ 와 절대 연속 누적분포함수 ${\displaystyle F_{\operatorname {a.c.} }}$ , 특이 연속 누적분포함수 ${\displaystyle F_{\operatorname {s.c.} }}$ 의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle F=cF_{\operatorname {disc} }+c'F_{\operatorname {a.c.} }+c''F_{\operatorname {s.c.} }}$ 

${\displaystyle c,c',c''\geq 0}$ 

${\displaystyle c+c'+c''=1}$ 

같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 는 서로 독립이다.
• 임의의 서로 다른 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\in {\mathcal {X}}}$  및 임의의 ${\displaystyle x_{i}\in \operatorname {dom} F_{X_{i}}}$  (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ )에 대하여, ${\displaystyle F_{(X_{1},\dots ,X_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{n}}(x_{n})}$ 

• 기술통계학

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

• “Distribution function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Distribution function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.