Spazio di Hilbert

In matematica uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale completo secondo la norma indotta da un certo prodotto scalare.

La nozione di spazio di Hilbert è stata introdotta dal celebre matematico David Hilbert all'inizio del XX secolo e ha fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale e armonica. Il suo interesse principale risiede nella conservazione di alcune proprietà degli spazi euclidei in spazi di funzioni infinito-dimensionali. Grazie alla definizione di spazio di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi arbitrarie.

Esso generalizza la nozione di spazio euclideo ed euristicamente uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spazio vettoriale) su cui è definito un prodotto scalare (quindi è possibile parlare di norma, distanze, angoli, ortogonalità) e tale che sia garantita la completezza, ossia che qualunque successione di Cauchy ammetta come limite un elemento dello spazio stesso. Nelle applicazioni i vettori elementi di uno spazio di Hilbert sono frequentemente successioni di numeri complessi o funzioni.

È cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica (si veda la relativa sezione sottostante per maggiori dettagli).

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti da David Hilbert nell'ambito delle equazioni integrali.^[1] John von Neumann fu il primo a utilizzare la denominazione der abstrakte Hilbertsche Raum (lo spazio astratto di Hilbert) nel suo celebre lavoro sugli operatori hermitiani non limitati del 1929.^[2] Allo stesso von Neumann si deve la comprensione dell'importanza di questa struttura matematica, che egli utilizzò ampiamente nel suo approccio rigoroso alla meccanica quantistica.^[3] Ben presto, il nome spazio di Hilbert divenne di largo uso nella matematica.^[4]

Uno spazio di Hilbert ${\displaystyle \mathbf {H} =(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ è uno spazio vettoriale ${\displaystyle H}$ reale o complesso^[5] sul quale è definito un prodotto interno ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tale che, detta ${\displaystyle \mathrm {d} }$ la distanza indotta da ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ su ${\displaystyle H}$, lo spazio metrico ${\displaystyle (H,\mathrm {d} )}$ sia completo. Uno spazio di Hilbert è dunque uno spazio prehilbertiano, in cui il prodotto interno definisce una norma, attraverso la quale si definisce una distanza che è tale da rendere lo spazio completo.

Esplicitamente, detto ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale sul campo reale o complesso e ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ un prodotto scalare (nel caso complesso, una forma hermitiana) definito positivo su ${\displaystyle V}$, allora è naturalmente definita una norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ sullo stesso spazio ponendo:

${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }},}$

per ogni vettore ${\displaystyle v\in V}$. Con tale norma, lo spazio ha la struttura di spazio normato.

Si può associare a uno spazio normato ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ una naturale struttura metrica, ottenuta definendo la distanza ${\displaystyle \mathrm {d} }$ come:

${\displaystyle \mathrm {d} (u,v):=\|u-v\|}$ per ogni ${\displaystyle u,v\in V.}$

Secondo la usuale identificazione di uno spazio vettoriale con uno spazio affine costruito prendendo come punti i vettori stessi, si pone come distanza tra due vettori la norma della loro differenza. Nel caso in cui la norma derivi da un prodotto scalare, vale dunque la seguente uguaglianza:

${\displaystyle \mathrm {d} (u,v)={\sqrt {\langle u-v,u-v\rangle }}.}$

La presenza di un prodotto scalare fornisce il modo di definire in generale alcune nozioni proprie dell'ambito degli spazi di Hilbert. Dati due vettori ${\displaystyle u,\,v\in H}$, si può definire l'angolo ${\displaystyle \theta }$ da essi formato mediante la relazione:

${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\,\|v\|}}.}$

Coerentemente con la precedente definizione, dato un insieme qualsiasi ${\displaystyle K\subset H}$, si definisce il complemento ortogonale di ${\displaystyle K}$ come il sottospazio:

${\displaystyle K^{\perp }=\{v\in H\ |\langle u,v\rangle =0\ \forall u\in K\}.}$

In particolare, due vettori ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ si dicono ortogonali se ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0}$, ossia se l'uno è nel complemento ortogonale dell'altro. Inoltre, una famiglia di vettori si dice ortonormale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali e hanno norma 1.

Dati due vettori ${\displaystyle v,e\in H}$, si definisce la componente di ${\displaystyle v}$ lungo ${\displaystyle e}$ lo scalare ${\displaystyle \langle v,e\rangle }$, e la proiezione di ${\displaystyle v}$ su ${\displaystyle e}$ il vettore ${\displaystyle {\frac {\langle v,e\rangle }{\langle e,e\rangle }}\,e}$.

Le proprietà seguenti, valide per gli spazi euclidei, si estendono anche agli spazi di Hilbert.

• Vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

${\displaystyle |\left\langle v,w\right\rangle |^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle .}$

• La norma indotta dal prodotto scalare soddisfa l'identità del parallelogramma:

${\displaystyle \|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2\|v\|^{2}+2\|w\|^{2}.}$

• Vale il teorema di Pitagora (sotto il nome di identità di Parseval), ovvero se ${\displaystyle \{v_{k}\}}$ è una successione di vettori a due a due ortogonali si ha:

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{\infty }v_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\|v_{k}\|^{2}.}$

• Per spazi di Hilbert sui complessi, vale l'identità di polarizzazione:^[6]

${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}\left(||v+w||^{2}-||v-w||^{2}+i||v+iw||^{2}-i||v-iw||^{2}\right).}$

• Vale la disuguaglianza di Bessel, ovvero se ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ è un insieme numerabile di vettori ortonormali allora per ogni ${\displaystyle v}$ vale:

${\displaystyle \langle v,v\rangle =\|v\|^{2}\geq \sum _{k=1}^{\infty }|\langle v,e_{k}\rangle |^{2}.}$

• Ogni spazio di Hilbert è naturalmente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche di Hilbert se e solo se la sua norma è indotta da un prodotto scalare, o, equivalentemente, se esso è autoduale (ossia, se esso si può identificare con il suo spazio duale).
• Ogni spazio di Hilbert ha una base ortonormale, detta solitamente base hilbertiana. Una tale base è un insieme di vettori ortonormali, che generano un sottospazio denso in ${\displaystyle H}$.

Uno spazio topologico è detto separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Gli spazi di Hilbert finito dimensionali sono sempre separabili. Nel caso infinito dimensionale, invece, ci sono sia esempi di spazi separabili sia di non separabili. I primi sono di grande interesse nelle applicazioni, e su di essi si è costruita una teoria piuttosto ricca. Si può informalmente affermare che, tra gli spazi infinito dimensionali, gli spazi di Hilbert separabili sono quelli che più assomigliano agli spazi finito dimensionali, e sono pertanto più facili da studiare.

Uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ è separabile se e solo se ha una base ortonormale ${\displaystyle S}$ di cardinalità finita o numerabile. Se ${\displaystyle S}$ ha ${\displaystyle N}$ elementi allora ${\displaystyle H}$ è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oppure ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Se ${\displaystyle S}$ ha un'infinità numerabile di elementi allora ${\displaystyle H}$ è isomorfo allo spazio ${\displaystyle l_{2}}$.

Una base ortonormale è ottenuta applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt a un insieme denso numerabile. Viceversa, il sottospazio generato da una base ortonormale è un insieme denso nello spazio di Hilbert. In uno spazio di Hilbert provvisto di una base hilbertiana ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ numerabile è possibile esprimere ogni vettore, norma o prodotto scalare come somma di una serie convergente:

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{\infty }\langle v,e_{i}\rangle e_{i}\qquad \|v\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|\langle v,e_{i}\rangle |^{2}\qquad \langle v,w\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }\langle v,e_{i}\rangle \langle e_{i},w\rangle .}$

Gli spazi di Hilbert hanno un ruolo centrale in meccanica quantistica. I postulati della meccanica quantistica vengono formulati (in particolare nell'interpretazione di Copenaghen) facendo uso degli spazi di Hilbert e dei suoi elementi. Riportiamo qui i primi due postulati in forma riassunta, rimandando all'articolo specifico per una trattazione più dettagliata.

Postulato 1) lo stato di un sistema fisico è rappresentato da un elemento di uno spazio di Hilbert (nella notazione di Dirac questo viene detto 'ket'); lo stato fisico contiene tutte le informazioni riguardo tutti i parametri fisici che in principio possono essere conosciuti (cioè misurati). Postulato 2) ad ogni parametro fisico misurabile è associato un operatore hermitiano definito sullo spazio di Hilbert degli stati; i possibili risultati della misura sono gli autovalori dell'operatore; lo stato del sistema subito dopo una misura è l'autovettore dell'operatore (detto anche autostato) corrispondente all'autovalore ottenuto come risultato della misura; se si conosce lo stato del sistema prima della misura, rappresentato da un certo elemento (vettore) dello spazio di Hilbert, non è possibile conoscere il risultato della misura, ma è possibile conoscere la probabilità di ogni risultato possibile; in particolare, la probabilità di un risultato possibile della misura (autovalore) è proporzionale alla proiezione dello stato del sistema prima della misura, sull'autostato dell'operatore corrispondente a tale autovalore.

• Lo spazio vettoriale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dei vettori di numeri reali:

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

con il prodotto scalare euclideo:

${\displaystyle \left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}$

è uno spazio di Hilbert reale di dimensione finita ${\displaystyle n}$, detto spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale.

• Lo spazio vettoriale ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ dei vettori di numeri complessi:

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

dotato della forma hermitiana standard:

${\displaystyle \left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}}$

è uno spazio di Hilbert complesso di dimensione finita ${\displaystyle n}$.

Lo spazio delle successioni di numeri reali a quadrato sommabile:

${\displaystyle l^{2}(\mathbb {R} )=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },x_{i}\in \mathbb {R} \ {\Bigg |}\ \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}<\infty \right\}}$

dotato del prodotto scalare:

${\displaystyle \langle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }|(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}}$

è uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita. Lo stesso vale per l'analogo complesso:

${\displaystyle l^{2}(\mathbb {C} )=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },x_{i}\in \mathbb {C} \ {\Bigg |}\ \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}<\infty \right\}}$

dotato del prodotto hermitiano:

${\displaystyle \langle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }|(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{*}y_{k}.}$

Lo spazio ${\displaystyle V}$ delle funzioni misurabili ${\displaystyle f}$ su un aperto ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$, a valori complessi e di quadrato sommabile:

${\displaystyle V=\left\{f:A\longrightarrow \mathbb {C} \ {\Bigg |}\ \int _{A}|f(x)|^{2}dx<\infty \right\}}$

è uno spazio vettoriale complesso, e la forma:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}f(x)^{*}g(x)dx}$

è hermitiana. Tale spazio non è però di Hilbert, poiché la forma hermitiana è solo semi-definita positiva: esistono infatti funzioni ${\displaystyle f}$ non nulle, ma tali che ${\displaystyle \langle f,f\rangle }$ è nullo. Ad esempio una funzione che vale 1 su un punto fissato di ${\displaystyle A}$, e 0 in tutti gli altri punti di ${\displaystyle A}$ ha questa proprietà (più in generale, l'integrale di una funzione che vale 0 fuori di un insieme di misura nulla ha integrale nullo).

Per ovviare a questo problema, si definisce lo spazio come quoziente di ${\displaystyle V}$ tramite la relazione di equivalenza che identifica due funzioni misurabili se differiscono solo su un insieme di misura nulla. La proiezione della forma hermitiana ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ su questo spazio è definita positiva, e la struttura che ne risulta è uno spazio di Hilbert, che viene indicato con ${\displaystyle L^{2}(A,\mathbb {C} )}$.

Gli elementi di ${\displaystyle L^{2}}$ non sono, in generale, funzioni continue. Per questo motivo non è possibile definirne direttamente la derivata, che deve essere definita quindi in maniera diversa. Lo spazio delle funzioni derivabili debolmente ${\displaystyle k}$ volte viene indicato tramite ${\displaystyle H^{k}(A)}$. Di questi tipi di spazi si occupa la teoria degli spazi di Sobolev.

• (EN) Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.
• (EN) Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960.
• (EN) Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, New York, Courier Dover Publications, 1982 [1970], ISBN 0-486-64062-0.
• (DE) John von Neumann, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, in Mathematische Annalen, vol. 102, 1929, pp. 49-131.
• (EN) Hermann Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, a cura di Dover Press, 1950 [1931], ISBN 0-486-60269-9.
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio di Banach
• Spazio duale
• Spazio metrico
• Spazio prehilbertiano
• Spazio vettoriale
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio di Hilbert allargato

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sullo spazio di Hilbert

• Arrigo Cellina, spazio di Hilbert, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• Hilbert, spazio di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Stephan C. Carlson, Hilbert space, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Hilbert, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spazio di Hilbert, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 38484 · LCCN (EN) sh85060803 · GND (DE) 4159850-7 · BNE (ES) XX531621 (data) · BNF (FR) cb11979628h (data) · J9U (EN, HE) 987007560453005171 · NDL (EN, JA) 00563198