Гильберт арауығы

Гильберт арауығы
Кем хөрмәтенә аталған	Давид Гильберт
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Гильберт арауығы Викимилектә

Ги́льберт арауығы (рус. Гильбертово пространство) — Евклид арауығының дөйөмләштерелеүе, сикһеҙ үлсәмлек мөмкинлегенә эйә һәм скаляр ҡабатландыҡ нигеҙендә барлыҡҡа килгән метрика буйынса тулы. Давид Гильберт хөрмәтенә уның исеме менән аталған.

Ги́льберт арауығында һыҙыҡлы операторҙар мөһим тикшереү объекты булып торалар^[1]. Ги́льберт арауығы төшөнсәһе Гильберттың үҙенең һәм Эрхард Шмидтың интеграль тигеҙләмәләр теорияһы буйынса хеҙмәттәрендә формалашҡан, ә абстракт билдәләмәһе Джон фон Неймандың, Рис Фридьештың һәм Стоундың эрмит операторҙары теорияһы буйынса хеҙмәттәрендә бирелгән.

Гильберт арауығы — (ысын йәки комплекслы һандар яланы өҫтөндә) һыҙыҡлы (векторлы) арауыҡ, унда^[2]:

• арауыҡтың теләһә ниндәй ике ${\displaystyle x}$ һәм ${\displaystyle y}$ элементтары өсөн уларҙың скаляр ҡабатландығын билдәләргә мөмкинлек биргән ҡағиҙә күрһәтелгән${\displaystyle (x,y)}$;
• был ҡағиҙә түбәндәге талаптарҙы ҡәнәғәтләндерә:
  • ${\displaystyle (y,x)=(x,y)}$ (ысын Гильберт арауығында урын алмаштырыу законы) йәки ${\displaystyle (y,x)={\overline {(x,y)}}}$ (комплекслы Гильберт арауығында урын алмаштырыу законы, һыҙыҡ комплекслы бәйлелек тамғаһын аңлата)^[3];
  • ${\displaystyle (x,y+z)=(x,y)+(x,z)}$ (таратыу законы);
  • теләһә ниндәй ысын ${\displaystyle \lambda }$ һаны өсөн ${\displaystyle (\lambda x,y)=\lambda (x,y)}$;
  • ${\displaystyle x\neq 0}$ булғанда ${\displaystyle (x,x)>0}$ һәм ${\displaystyle x=0}$ булғанда ${\displaystyle (x,x)=0}$.
• ул был скаляр ҡабатландыҡ нигеҙендә барлыҡҡа килгән ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {(x-y,x-y)}}}$ метрикаһына ҡарата тулы була. Әгәр арауыҡтың тулылыҡ шарты үтәлмәһә, Гильбертҡа тиклемге арауыҡ тураһында һөйләйҙәр. Әммә билдәле (ҡулланылған) арауыҡтарҙың күбеһе йә тулы, йә тулыландырыла алалар.

Шулай итеп, Гильберт арауығы ул нормаһы ыңғай билдәләнгән скаляр ҡабатландыҡ нигеҙендә барлыҡҡа килгән һәм ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {(x,x)}}}$ тип билдәләнгән Банах арауығы (тулы нормалаштырылған арауыҡ).

Әгәр түбәндәге параллелограмм тигеҙлеге (тождество) үтәлһә һәм бары тик шул саҡта ғына ирекле нормалаштырылған арауыҡта норма ниндәйҙер скаляр ҡабатландыҡ нигеҙендә барлыҡҡа килә ала:

${\displaystyle (\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}).}$

Әгәр параллелограмм тождествоһын ҡәнәғәтләндергән Банах арауығы ысын арауыҡ булһа, уның нормаһына тап килгән скаляр ҡабатландыҡ түбәндәге тигеҙлек менән бирелә

${\displaystyle (x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {x-y}{2}}\right\|^{2}.}$

Әгәр был арауыҡ комплекслы арауыҡ булһа, уның нормаһына тап килгән скаляр ҡабатландыҡ түбәндәге тигеҙлек менән бирелә

${\displaystyle (x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {x-y}{2}}\right\|^{2}+i\left\|{\dfrac {x+iy}{2}}\right\|^{2}-i\left\|{\dfrac {x-iy}{2}}\right\|^{2}}$ (поляризацияланған тождество).

Гильберт арауығында Коши — Буняковский тигеҙһеҙлеге мөһим әһәмиәткә эйә:

${\displaystyle |(x,y)|\leqslant \|x\|\|y\|}$.

Был тигеҙһеҙлек ысын Гильберт арауығы осрағында ике x һәм y элементтары араһындағы ${\displaystyle \varphi }$ мөйөшөн түбәндәге формула буйынса табырға мөмкинлек бирә

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(x,y)}{\|x\|\|y\|}}}$.

Айырым алғанда, әгәр скаляр ҡабатландыҡ ${\displaystyle (x,y)=0}$ нулгә тигеҙ, ә элементтар үҙҙәре нулдән айырмалы булһа, был элементтар араһындағы мөйөш ${\displaystyle 90^{\circ }}$-ҡа тигеҙ була, был x һәм y элементтарының ортогоналлегенә ярашлы. Ортогоналлек төшөнсәһе комплекслы Гильберт арауығында ла ${\displaystyle (x,y)=0}$ бәйләнеше ярҙамында индерелә. Элементтарҙың ортогоналлеген тамғалау өсөн ${\displaystyle \perp }$ символы ҡулланыла. Гильберт арауығының ${\displaystyle M}$ һәм ${\displaystyle N}$ аҫкүмәклектәре өсөн, әгәр теләһә ниндәй ике ${\displaystyle f\in M}$, ${\displaystyle g\in N}$ элементтары ортогональ булһа, ${\displaystyle (M\perp N)}$ ортогональ.

Парлы ортогональ векторҙар өсөн Пифагор теоремаһы (дөйөмләштерелгән) ғәмәлдә:

${\displaystyle \left\|\sum _{i}x_{i}\right\|^{2}=\sum _{i}\|x_{i}\|^{2}}$.

Арауыҡтың ниндәйҙер ${\displaystyle A}$ аҫкүмәклегенә ортогональ бөтә элементтар күмәклеге, йомоҡ һыҙыҡлы төрлөлөк (аҫарауыҡ) була һәм был күмәклектең ортогональ өҫтәмәһе тип атала.

Әгәр күмәклектең теләһә ниндәй ике элементы ортогональ һәм һәр элементтың нормаһы 1-гә тигеҙ булһа, элементтар аҫкүмәклеге ортонормалаштырылған система тип атала.

Гильберт арауығының векторҙар системаһы, әгәр ул бөтә арауыҡты барлыҡҡа килтерһә, йәғни, әгәр арауыҡтың ирекле элементы был система элементтарының һыҙыҡлы комбинациялары менән нормаһы буйынса мөмкин тиклем теүәл яҡынайтыла алһа, тулы була. Әгәр арауыҡта элементтарҙың иҫәпле тулы системаһы булһа, ул саҡта арауыҡ сепарабелле — йәғни иҫәпле бөтә ерҙә лә тығыҙ күмәклек була, уның ябыуы арауыҡ метрикаһы буйынса бөтә арауыҡ менән тап килә.

Әгәр арауыҡтың һәр элементын ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ системаһы элементтарының һыҙыҡлы комбинацияһы итеп берҙән-бер ысул менән күрһәтеп булһа, бирелгән ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ тулы системаһы базис була. Әйтергә кәрәк, Банах арауыҡтарының дөйөм осрағында система элементтарының тулылығынан һәм һыҙыҡлы бәйләнешһеҙлегенән уның базис булыуы килеп сыҡмай. Әммә сепарабелле Гильберт арауығы осрағында тулы ортонормалаштырылған система ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ базис була. Ортонормалаштырылған система сепарабелле Гильберт арауығында тулы булһын өсөн, ортонормалаштырылған системаның бөтә элементтарына ла ортогональ булған, нулдән айырмалы элементының булмауы кәрәкле һәм етерлек. Шулай итеп, арауыҡтың һәр ${\displaystyle f}$ элементы өсөн ортонормалаштырылған ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ базисы буйынса тарҡалма бар:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}e_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }(f,e_{i})e_{i}}$.

Тарҡалма коэффициенттарын ${\displaystyle \alpha _{i}=(f,e_{i})}$ Фурье коэффициенттары тип атайҙар. Был осраҡта элемент нормаһы өсөн Парсеваль тигеҙлеге үтәлә:

${\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|(f,e_{i})|^{2}}$.

Гильберт арауығындағы бөтә ортонормалаштырылған базистар бер үк ҡеүәткә эйә, был Гильберт арауығының үлсәмен ирекле ортонормалаштырылған базис (ортогональ үлсәм) үлсәме итеп билдәләргә мөмкинлек бирә. Гильберт арауығы иҫәпле үлсәмле булған осраҡта һәм тик шул осраҡта ғына сепарабелле.

Арауыҡтың үлсәмен шулай уҡ Гильберт арауығының аҫкүмәклектәренең иң бәләкәй ҡеүәте ${\displaystyle H}$ тип билдәләргә мөмкин, улар өсөн һыҙыҡлы көбөнөң ябылыуы ${\displaystyle H}$ менән тап килә.

Бер үк үлсәмгә эйә булған теләһә ниндәй ике Гильберт арауығы изоморфлы. Атап әйткәндә, теләһә ниндәй ике сикһеҙ үлсәмле сепарабелле Гильберт арауыҡтары бер-береһенә һәм ${\displaystyle \ell ^{2}}$ - квадратик-ҡушылыусы эҙмә-эҙлелектәр арауығына изоморфлы.

Сепарабелле булмаған Гильберт арауыҡтары — иҫәпле базисы булмаған арауыҡтар бар^[4]. Атап әйткәндә, махсус үлсәмле сепарабелле булмаған ${\displaystyle L^{2}}$ арауығы миҫалы ҡыҙыҡлы^[5].

${\displaystyle L}$ — ${\displaystyle H}$ Гильберт арауығындағы ниндәйҙер аҫарауыҡ булһын, ти. Ул саҡта теләһә ниндәй ${\displaystyle f\in H}$ элементы өсөн берҙән-бер ${\displaystyle f=g+h}$ тарҡалмаһы дөрөҫ, бында ${\displaystyle g\in L}$, ә ${\displaystyle h\perp L}$. ${\displaystyle L}$ аҫарауығына ортогональ ${\displaystyle h}$ элементтары йыйылмаһы ${\displaystyle L}$ аҫарауығының ортогональ өҫтәлмәһе булған (йомоҡ) ${\displaystyle M}$ аҫарауығын барлыҡҡа килтерә, .

${\displaystyle H}$ арауығы ${\displaystyle L}$ һәм ${\displaystyle M}$ аҫарауыҡтарының тура суммаһына тарҡалған тип әйтәләр, был ошолай яҙыла ${\displaystyle H=L\oplus M}$. Оҡшаш рәүештә ${\displaystyle L=H\ominus M}$ тип яҙыла.

Һыҙыҡлы өҙлөкһөҙ (сикләнгән) функционалдар арауығы шулай уҡ һыҙыҡлы арауыҡ барлыҡҡа килтерә һәм эйәртеүле арауыҡ тип атала.

Гильберт арауығында сикләнгән һыҙыҡлы функционалдың дөйөм күренеше тураһында Рис теоремаһы бар: теләһә ниндәй сикләнгән һыҙыҡлы ${\displaystyle f}$ функционалы өсөн ${\displaystyle H}$ Гильберт арауығында шундай берҙән-бер ${\displaystyle y\in H}$ векторы бар, бында теләһә ниндәй ${\displaystyle x\in H}$ өсөн ${\displaystyle f(x)=(x,y)}$. Шуның менән бергә ${\displaystyle f}$ һыҙыҡлы функционалдың нормаһы ${\displaystyle y}$ векторының нормаһы менән тап килә:

${\displaystyle \|f\|=\sup _{\|x\|=1}|f(x)|={\sqrt {(y,y)}}}$.

Был теореманан, Гильберт арауығы ${\displaystyle H}$ өҫтөндә сикләнгән һыҙыҡлы функционалдар арауығы ${\displaystyle H}$ арауығының үҙенә изоморфлы булыуы килеп сыға.

${\displaystyle A}$ һыҙыҡлы операторы бирелгән базиста матрица элементтары ярҙамында берҙән-бер түбәндәгесә күрһәтелә ала: ${\displaystyle a_{ij}=(Ae_{i},e_{j})}$.

${\displaystyle A^{*}}$ һыҙыҡлы операторы, әгәр теләһә ниндәй ${\displaystyle x}$ һәм ${\displaystyle y}$ элементтары өсөн ${\displaystyle (Ax,y)=(x,A^{*}y)}$ тигеҙлеге үтәлһә, ${\displaystyle A}$ операторына эйәртеүле тип атала. Эйәртеүле операторҙың нормаһы операторҙың үҙенең нормаһына тигеҙ.

Һыҙыҡлы сикләнгән оператор эйәртеүле (симметрик) тип атала, әгәр ${\displaystyle A^{*}=A}$ булһа.

Бөтә арауыҡта бирелгән, һәр элементҡа уның ниндәйҙер аҫарауығына проекцияһын ярашлы ҡуйған ${\displaystyle P}$ операторы, "проектлаусы" оператор тип атала. Проектлаусы — ул шундай оператор, бында ${\displaystyle P^{2}=P}$. Әгәр бынан тыш ${\displaystyle P}$ проектлаусыһы үҙэйәртеүле оператор булһа, ул ортогональ проектлаусы ла була. Ике проектлаусы операторҙың ҡабатландығы, әгәр улар алмаштырыла алһа һәм бары тик шул саҡта ғына, проектлаусы була: ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}}$.

• Рис күҙаллауҙары теоремаһы: ${\displaystyle H}$ Гильберт арауығындағы теләһә ниндәй ортонормалаштырылған векторҙар системаһы ${\displaystyle {\lbrace \phi _{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }}$ һәм ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }C_{i}^{2}<\infty }$ шарты үтәлгән ${\displaystyle {\lbrace C_{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }}$ һандар эҙмә-эҙлелеге өсөн, ${\displaystyle H}$-та шундай ${\displaystyle u}$ элементы бар, бында ${\displaystyle C_{i}=\left(u,\phi _{i}\right)}$ һәм ${\displaystyle {\left\Vert u\right\Vert }^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }{\left(u,\phi _{i}\right)}^{2}}$.
• Гильберт арауыҡтары ҡәтғи нормалаштырылған арауыҡтар барлыҡҡа килтерәләр.

Төп миҫал — Евклид арауығы.

${\displaystyle \ell ^{2}}$ Квадратик-ҡушылыусы эҙмә-эҙлелектәр арауығы: уның нөктәләре ысын һандарҙың сикһеҙ эҙмә-эҙлектәре ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, улар өсөн ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}}$ рәте йыйыла, унда скаляр ҡабатландыҡ түбәндәге тигеҙлек менән бирелә:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}}$.

${\displaystyle [a,b]}$ киҫегенән, квадраттары Лебег буйынса интегралланыусы ысын ҡиммәттәр ҡабул иткән ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ үлсәнмәле функциялар арауығы — йәғни

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\!|f|^{2}\,dx}$ интегралы билдәләнгән һәм сикле, шуның менән бергә нуль үлсәмле күмәклектә бер-береһенән айырылып торған функциялар бер-береһе менән тиңләштереләләр (йәғни формаль рәүештә ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ эквивалентлыҡ кластарының ярашлы күмәклеге). Был арауыҡта скаляр ҡабатландыҡ түбәндәге тигеҙлек менән бирелә:

${\displaystyle (f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{g}\,dx}$.

Комплекслы һандар яланы өҫтөндә ${\displaystyle \ell ^{2}}$ һәм ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ арауыҡтары, комплекслы һандар эҙмә-эҙлҙлелектәре һәм комплекслы ҡиммәтле функциялар өсөн скаляр ҡабатландыҡ билдәләмәһе тик икенсе ҡабатлашыусының комплекслы эйәртеүсәнлеге менән генә айырыла:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y}}_{n}}$;

${\displaystyle (f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{\overline {g}}\,dx}$.

• Халмош П., Гильбертово пространство в задачах / Пер. с англ. И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Мир, 1970. — 352 с.
• Морен К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.