Jump to content

Զենոնի ապորիաներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Զենոնի ապորիաներ
«Աքիլլեսն ու կրիան»[⇨] պարադոքսի գծապատկեր
շարժումը երբեք չի ավարտվում
ՏեսակՊարադոքս
ՀեղինակԶենոն Էլեացի
 Zeno's paradoxes

Զենոնի ապորիաներ (հին հունարեն՝ ἀπορία «դժվարություն»), Էլեական դպրոցի հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեացու առերևույթ պարադոքսալ դատողություններ շարժման և բազմության թեմայով (մ.թ.ա. մոտ 490- մթ.ա.430)։ Ժամանակակիցները հիշատակել են Զենոնի ավելի քան 40 ապորիա, 9-ը հասել են մեզ, որոնք քննարկվել են Արիստոտելի «Ֆիզիկա»[Ն 1] տրակտատում և այլ աշխատություններում, մասնավորապես նաև դրանց նվիրված Սիմպլիկիոսի, Ֆիլոպոնոսի և Թեմիստիոսի մեկնաբանություններում[1]։ Այս 9 ապորիաներից մեկը փոխանցել է նաև Դիոգենես Լաերտացին[2]։ Բազմության մասին ապորիաները քննարկվում են Պլատոնի «Պարմենիդես» երկխոսության մեջ։ Արիստոտելի մեկնաբան Էլիաս Ալեքսանդրացին (մ.թ. 6-րդ դար) հայտնում է, որ Զենոնն արտահայտել է 40 պարադոքս ( հին հունարեն՝ ἐπιχείρημα)[Ն 2] բազմության և հինգը` շարժման մասին։

Նա գրել է իր ուսուցչի՝ Պարմենիդեսի համար, ով պնդում էր, որ գոյն իր տեսքով մեկ է, թեև կարծում էր, ակներևորեն բազմակի է՝ ըստ քառասուն էպիխեյրեմայի {փաստարկումների}, գրել է հօգուտ այն բանի, որ գոյը մեկն է, քանի որ նա կարծում էր, որ լավ է ուսուցչի համախոհը լինել։ Հերթական անգամ, պաշտպանելով նույն ուսուցչին, ով պնդում էր, որ գոյն անշարժ է, պատրանք, նա առաջ քաշեց հինգ էպիխեյրեմա՝ հօգուտ այն բանի, որ գոյն անշարժ է։ Կինիկ Անտիսթենեսը, ով չէր կարող առարկել նրանց, կանգնեց և սկսեց քայլել՝ հավատալով, որ գործով ապացուցումն ավելի ուժեղ է, քան ցանկացած խոսքով առարկությունը[3]:

Ամենահայտնիներից են Զենոնի «Աքիլեսը և կրիան» պարադոքսը և շարժման մասին այլ ապորիաները, որոնք քննարկվել են ավելի քան երկու հազար տարի, դրանց նվիրված են հարյուրավոր ուսումնասիրություններ։ Պլատոնը դրանք չի հիշատակում «Պարմենիդեսում», ուստի Վ.Յա Կոմարովան ենթադրում է, որ շարժման պարադոքսները Զենոնը գրել է ավելի ուշ, քան մյուսները[4]։

Սխալ է այս պարադոքսներն ընկալել որպես սոփիզմներ կամ հավատալ, որ բարձրագույն մաթեմատիկայի գալուստով բոլոր ապորիաները լուծվում են[5]։ Բերտրան Ռասելը գրել է, որ Զենոնի ապորիաները «այս կամ այն ձևով ազդում են տարածության, ժամանակի և անսահմանության գրեթե բոլոր տեսությունների վրա, որոնք առաջարկվել են նրա ժամանակներից մինչև մեր օրերը»[6]։ «Զենոնի փաստարկների խնդրահարույցությունը շատ ավելի հեռու է կոնկրետ պատմական իրավիճակից, որն առաջացրել է դրանց տեսքը։ Հսկայական գրականություն է նվիրված Զենոնի ապորիաների վերլուծությանը. «Հատկապես մեծ ուշադրություն է դարձվել նրանց վերջին հարյուր տարվա ընթացքում, երբ մաթեմատիկոսները սկսեցին տեսնել նրանց մեջ ժամանակակից բազմությունների տեսության պարադոքսների ակնկալիքը»[7]։ Զենոնի պատճառահետևանքային մեկնաբանությամբ առաջացած գիտական քննարկումները զգալիորեն խորացրել են այնպիսի հիմնարար փոխազդեցությունների ըմբռնումը, ինչպիսիք են բնության մեջ անընդհատության և դիսկրետության (անջատված) դերը, ֆիզիկական շարժման համարժեքությունը և դրա մաթեմատիկական մոդելը և այլն։ Այս քննարկումները շարունակվում են և մինչ օրս[⇨], գիտական հանրությունը դեռևս կոնսենսուսի չի եկել պարադոքսների էության վերաբերյալ[8][⇨]։

Զենոն Էլեացի (1627)

Էլեական փիլիսոփայություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հիմնական հոդված՝ Էլեական դպրոց
Զենոնն իր ուսանողներին ցույց է տալիս Ճշմարտության և Սուտի դռները: Որմնանկար Էսկորիալ գրադարանում
Հեղինակ՝ Բ. Կարդուչի կամ Պ. Տիբալդի

Էլեական փիլիսոփայական դպրոցը (էլեատները) գոյություն է ունեցել մ.թ.ա. 6-րդ դարի վերջից մինչև մ.թ.ա 5-րդ դարի առաջին կեսը։ Նրա նախահայրը համարվում է Զենոնի ուսուցիչ Պարմենիդեսը։ Դպրոցը մշակել է կեցության յուրօրինակ ուսմունք. Պարմենիդը իր փիլիսոփայական հայացքները շարադրել է մի բանաստեղծության մեջ, որից մեզ են հասել առանձին հատվածներ[9][10][11]։

Էլեատները պաշտպանում էին գոյության միասնությունը՝ հավատալով, որ Տիեզերքում իրերի բազմակիության գաղափարը սխալ է[12]։ Ըստ էլեատների` կեցությունը ամբողջական է, իրական և ճանաչելի, բայց միևնույն ժամանակ անբաժանելի է, անփոփոխ և հավերժական, չունի ոչ անցյալ, ոչ ապագա, ոչ ծնունդ, ոչ մահ։ Պարմենիդեսն իր բանաստեղծության մեջ ասում է. մտածելն իր բովանդակությամբ նույնական է մտածողության առարկային («մտածելը և այն, ինչի մասին է միտքը, նույնն են»)։ Որից հետո, Պարմենիդեսը տրամաբանորեն եզրակացնում է իրապես գոյի իսկության բնութագրերը. այն «չի առաջացել, չի քանդվել, անբաժանելի է [չունի մասեր][11], եզակի, անշարժ և անվերջ [ժամանակի մեջ]»։

Այս ամբողջական աշխարհի իմացությունը հնարավոր է միայն ողջամիտ (տրամաբանական) դատողությունների միջոցով, իսկ աշխարհի զգայական պատկերը, ներառյալ դիտելի շարժումները, պատրանք են և հակասական[13]։ Նույն դիրքերից էլեատները գիտության մեջ առաջին անգամ բարձրացրին անվերջության հետ կապված գիտական հասկացությունների թույլատրելիության հարցը[14]։

Ինչպես նշում են Վ. Ֆ. Ասմուսը և մի շարք այլ պատմաբաններ, էլեատները ժխտում էին ոչ թե աշխարհի շարժումն ու բազմությունն ընկալելու հնարավորությունը, այլ դրանց պատկերացնելիություն, այսինքն՝ համատեղելիությունը տրամաբանության հետ։ Էլեատները բացահայտեցին իրենց տեսակետից անխուսափելի հակասությունները, որոնք առաջանում են այն ժամանակվա գիտական հասկացությունները բնության նկատմամբ կիրառելիս, ինչը հաստատեց Պարմենիդեի դիրքորոշումը, որի ռացիոնալ-տրամաբանական մոտեցումը թույլ տվեց խուսափել այդ հակասություններից[15][16]։ Պաշտպանելով իրենց տեսակետները փիլիսոփայական վեճերում՝ Զենոնը և մյուս էլեատները օգտագործում էին բարդ տրամաբանական փաստարկներ, և դրա կարևոր մասը Զենոնի ապորիան էր, որն ապացուցում էր իրենց հակառակորդների տեսակետների անտրամաբանականությունն ու անհամապատասխանությունը։

Ապորիաներ և շարժում

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սրանք Զենոնի ամենահայտնի (և, դատելով մատենագրությունից, ամենաարդիական) պարադոքսներն են։

Շարժման մոդելները հին բնափիլիսոփայության մեջ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ապորիան և, ընդհանրապես, Զենոնի հայացքները մեզ հայտնի են միայն այլ հին փիլիսոփաների հակիրճ վերապատմումով, որոնք ապրել են դարեր անց և, չնայած նրանք բարձր էին գնահատում Զենոնին որպես «դիալեկտիկայի հիմնադիր», նրանք ամենից հաճախ նրա գաղափարական հակառակորդներն էին։ Հետևաբար, դժվար է հուսալիորեն պարզել, թե ինչպես է Զենոնն ինքը ձևակերպել ապորիան, ինչ է ուզում ցույց տալ կամ հերքել[17]։ Ամենատարածված տեսակետի համաձայն, որը գալիս է Պլատոնից, ապորիաները նպատակ ուներ պաշտպանել Պարմենիդեսի փիլիսոփայության մոնիզմը իրերի շարժման և բազմության մասին սովորական պատկերացումներից։ Զենոնի հակառակորդները կարող էին լինել ողջախոհության կողմնակիցներ։ Որոշ գիտնականներ կարծում են, որ Զենոնի փաստարկները կապված էին պյութագորասականների վաղ մաթեմատիկական ուսմունքների մասին մտորումների հետ, քանի որ ապորիան իրականում կասկածի տակ էր դնում ֆիզիկական մարմինների քանակական մոտեցումների կիրառումը և տարածական ձգվածությունը[8][18][5]։ Այս տեսակետը հաստատվում է նրանով, որ էլեատները հնում կոչվել են աֆիզիկոսներ, այսինքն՝ բնության գիտության հակառակորդներ[17]։

Մ.թ.ա. 5-րդ դարում Հին հունական մաթեմատիկան հասավ զարգացման բարձր մակարդակի, և Պյութագորասի դպրոցը վստահաբար հայտարարում էր, որ մաթեմատիկական օրենքները ընկած են բնության բոլոր օրենքների հիմքում։ Մասնավորապես, երկրաչափության հիման վրա ստեղծվել է բնության մեջ շարժման մաթեմատիկական մոդել, որն այդ ժամանակ արդեն բավականին հիմնովին մշակված էր։ Պյութագորասի երկրաչափությունը հիմնված էր մի շարք իդեալականացված հասկացությունների վրա՝ մարմին, մակերես, պատկեր, գիծ, իսկ ամենաիդեալականը տարածության կետ հիմնարար հայեցակարգն էր, որը չունի սեփական չափելի հատկանիշներ[19][20]։ Այդպիսով, ցանկացած դասական կոր համարվում էր և՛ անընդհատ, և՛ բաղկացած անսահման թվով առանձին կետերից։ Մաթեմատիկայի մեջ այս հակասությունը խնդիրներ չի առաջացրել, սակայն իրական շարժման մեջ այս սխեմայի կիրառումը հարց է բարձրացրել, թե որքանո՞վ է օրինական ներքուստ հակասական նման մոտեցումը[21]։ Զենոն Էլեացին առաջինն էր, ով հստակ ձևակերպեց խնդիրը իր պարադոքսների (ապորիաների) շարքում։

Երկու ապորիաներում (Աքիլլես և Դիխոտոմիա) ենթադրվում է, որ ժամանակն ու տարածությունը շարունակական են և անորոշորեն տրոհելի. Զենոնը ցույց է տալիս, որ այս ենթադրությունը հանգեցնում է տրամաբանական դժվարությունների։ Երրորդ ապորիան («Սլաք»), ընդհակառակը, ժամանակը համարում է դիսկրետ՝ կազմված կետ-պահերից. այս դեպքում, ինչպես ցույց տվեց Զենոնը, առաջանում են այլ դժվարություններ[15]։ Նկատենք, որ ճիշտ չէ պնդելը, թե Զենոնը շարժումը համարել է գոյություն չունեցող, քանի որ, ըստ Էլեական դպրոցի փիլիսոփայության, անհնար է ապացուցել որևէ բանի գոյությունը[22]։ Զենոնի վեճի նպատակն ավելի նեղ էր՝ հակասություններ հայտնաբերել հակառակորդի դիրքորոշման մեջ։

Հաճախ «Մարզադաշտը» դասում են շարժման ապորիաների շարքում (տես ստորև), սակայն թեմատիկ առումով այս պարադոքսն ավելի հավանական է, որ կապված լինի անսահմանության ապորիաների հետ։ Դրանից հետո, ապորիաների բովանդակությունը վերապատմվում է ժամանակակից տերմինաբանությամբ։

Ծագած փիլիսոփայական վեճերի ազդեցության տակ ձևավորվեց մատերիայի և տարածության կառուցվածքի վերաբերյալ երկու տեսակետ՝ առաջինը պնդում էր դրանց անսահման բաժանելիությունը, իսկ երկրորդը՝ անբաժանելի մասնիկների՝ «ատոմների» գոյությունը։ Այս դպրոցներից յուրաքանչյուրը յուրովի լուծում էր էլեատների առաջադրած խնդիրները։

Շարժման մասին ապորիանրերի բովանդակություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աքիլլեսն ու կրիան

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հիմնական հոդված՝ Աքիլլեսն ու կրիան
Աքիլլեսն ու կրիան պարադոքսի գրաֆիկական պատկեր. Երկրաչափական ապացույց՝ ըստ Թալեսի հատման թեորեմի. երբ Աքիլլեսը շարժվում է 10 մ/վ արագությամբ, իսկ կրիան՝ իր արագության կեսով:

  Կրիա

  Աքիլլես

Այս ապորիայի ամենավաղ (մեր օրեր հասած) ձևակերպումը տրված է Արիստոտելի «Ֆիզիկա» տրակտատում։

Երկրորդը [Զենոնի փաստարկը] կոչվում է «Աքիլլես»։ Այն ասում է, որ ամենադանդաղկոտը, երբ այն վազում է, երբեք չի անցնի ամենաարագավազին։ Քանի որ մինչ դա տեղի կունենա, անհրաժեշտ է, որ հետապնդողը հասնի այն տեղը, որտեղից սկսվել է հետապնդվողը. ուստի անհրաժեշտ է, որ դանդաղը միշտ որոշ չափով առաջ լինի[23]։
- Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տասն անգամ ավելի արագ, քան կրիան և գտնվում է կրիայի հետևում հազար քայլ հեռավորության վրա։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ։ Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։ (Զենոնի «Աքիլլես» ապորիայի ժամանակակից ձևակերպում)

Այս ապորիան զուգորդվում է մեկ այլ զենոնյան ապորիայի՝ «Դիխոտոմիայի» հետ, որը, ընդհակառակը, ապացուցում է, որ շարժումը երբեք չի սկսվի։

Այստեղ և հաջորդ ապորիայում ենթադրվում է, որ տարածությունն ու ժամանակը տրոհման սահման չունեն։ Դիոգենես Լաերտացին այս նշանավոր ապորիայի հեղինակ է համարում Զենոնի ուսուցիչ Պարմենիդեսին[15]։ Կրիան որպես կերպար ներմուծել են ավելի ուշ մեկնաբանները (Սիմպլիցիուս և Թեմիստիուս), Արիստոտելի «Ֆիզիկայի» մեջ տրված ապորիայի տեքստում արագավազ Աքիլեսը հասնում է մեկ այլ վազորդին[24]։

Դիխոտոմիա

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս ապորիայի ամենավաղ (մեր օրեր հասած) ձևակերպումը տրված է Արիստոտելի «Ֆիզիկայում»։ Այնտեղ Արիստոտելը տվել է «Դիխոտոմիա» (հունարեն՝ կիսում) անվանումը։

Дихотомия: движение никогда не начнётся
Դիխոտոմիա. շարժումը երբեք չի սկսվի
[Զենոնի գաղափարն] այն է, որ ոչ մի շարժում չկա, քանի որ այն, ինչ տեղաշարժվել է, նախ պետք է անցնի նախորդ դիրքի կեսը մինչև վերջը հասնելը[25]:
- Ճանապարհը հաղթահարելու համար նախ պետք է հաղթահարես ճանապարհի կեսը, իսկ ճանապարհի կեսը հաղթահարելու համար նախ պետք է հաղթահարես այդ կեսի կեսը, և այդպես շարունակ, անվերջ։ Այդ պատճառով, շարժումը երբեք չի սկսվի։ «Դիխոտոմիա» (Ժամանակակից ձևակերպում)

«Դիխոտոմիա» ապորիան զուգակցվում է «Աքիլես և կրիա» ապորիայի հետ, որտեղ, ընդհակառակը, ապացուցում է, որ շարժումը երբեք չի ավարտվի։

Զենոնի Նետ ապորիան

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Նետը միշտ անշարժ է
Թռչող նետն անշարժ է, քանի որ ամեն պահ հանգստի վիճակում է, և քանի որ ժամանակի ամեն պահի հանգստանում է, ուրեմն` միշտ հանգստանում է։
- Նետ ապորիա
Նմանատիպ պարադոքս
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Փայտի պարադոքս

«Դիխոտոմիա» և «Նետ» ապորիաները հիշեցնում են հետևյալ պարադոքսալ աֆորիզմները, որոնք վերագրվում են հին չինական վեց հիմնական փիլիսոփայական դպրոցներից Մին ջիյա (չինարեն՝ 名家 - «Անունների դպրոց») առաջատար ներկայացուցիչ Գոնգսուն Լոնգին (մ.թ.ա. 4-րդ դարի կեսեր-մ.թ.ա. 3-րդ դարի կեսեր)։

  • «Նետի արագ [թռիչքի] ժամանակ կա և՛ շարժման, և՛ դադարի բացակայության պահ»։
  • «Եթե մեկ «չի» [երկարության] փայտի կեսն ամեն օր կտրեք, այն չի վերջանա նույնիսկ 10 000 սերունդ հետո»։

Արիստոտելի քննադատությունը ապորիաների մասին

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Լիսիպոս, Արիստոտելի կիսանդրին
(հռոմեական կրկնօրինակ)

Արիստոտելը (մ.թ.ա. IV դ.) մատերիան համարել է անընդմեջ և անսահման տրոհվող։ Իր «Ֆիզիկայի» IV (գլուխ 2, 3), VI (գլուխ 2, 9) և VIII (գլուխ 8) գրքերում նա վերլուծում և մերժում է Զենոնի դատողությունները։ Շարժման ապորիայի վերաբերյալ Արիստոտելն ընդգծում է, որ թեև ժամանակային միջակայքը կարելի է անսահմանորեն տրոհել, բայց այն հնարավոր չէ կազմել առանձին կետ-պահերից, և ժամանակի անսահմանությունը չի կարելի կապել այդ անսահման տրոհման հետ։

Այն, որ թռչող նետը անշարժ է, բխում է այն ենթադրությունից, որ ժամանակը կազմված է [առանձին] «այժմ» - ներից. Եթե սա չընդունենք, սիլլոգիզմը չի ստացվի։

Դիոգենեսը հայտնում է, որ Արիստոտելը և Հերակլիդ Պոնտացին ունեին «Ընդդեմ Զենոնի վարդապետության» վերնագրով աշխատություններ, որոնք սակայն չեն պահպանվել։

Պատմաբանների ու մեկնաբանների կարծիքներն Արիստոտելի փաստարկների շուրջ բաժանվել են։ Մի մասը համարում էր դրանք բավարար, մյուսները` քննադատում էին ոչ համոզիչ և անբավարար խորություն ունենալու համար։ Մասնավորապես, Արիստոտելը չի բացատրել, թե ինչպես կարող է ժամանակի վերջավոր հատվածը բաղկացած լինել անսահման թվով մասերից[15]։

Արիստոտելի դիրքորոշումը պարզ է, բայց ոչ անթերի, և առաջին հերթին այն պատճառով, որ նա ինքն ի վիճակի չէր ապացույցների մեջ տրամաբանական սխալներ հայտնաբերել կամ պարադոքսների համար բավարար բացատրություն տալ... Արիստոտելը չկարողացավ հերքել փաստարկներն այն պարզ պատճառով, որ Զենոնի ապացույցները տրամաբանական իմաստով անթերի էին կազմված[26]։

Ատոմիստական մոտեցում

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հիմնական հոդված՝ Ատոմիզմ
Էպիկուրոս Սամոսացի, որն աշխարհը համարում էր դիսկրետ՝ բաղկացած անընդմեջ շարժվող անբաժանելի ատոմներից և դատարկությունից

Հին հույն առաջին ատոմիստ՝ Լևկիպոսը, Զենոնի աշակերտն էր և մեկ այլ խոշոր ատոմիստ՝ Դեմոկրիտեսի ուսուցիչներից մեկը։ Հին ատոմիզմի համակարգն առավել մանրամասն ներկայացրել է Էպիկուրոսը, մ.թ.ա. IV-III դարերում, որը մեզ է հասել Լուկրեցիուս Կարուսի շարադրությամբ։ Ի տարբերություն Արիստոտելի, Էպիկուրոսն աշխարհը համարում էր դիսկրետ՝ բաղկացած անընդմեջ շարժվող անբաժանելի ատոմներից և դատարկությունից։ Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում Էպիկուրի իզոտախիայի հայեցակարգը, ըստ որի բոլոր ատոմները շարժվում են նույն արագությամբ[27]։ Հաշվի առնելով, որ Էպիկուրուսի աշխարհում չկար ատոմից փոքր չափ, հետևում է, որ կա նաև ժամանակի չափման փոքրագույն միջակայք։ Այս մոդելի մաթեմատիկական իդեալականացումը ներկայացնում է ցանկացած մարմին, ֆիգուր կամ գիծ` որպես անվերջ թվով անվերջ փոքր մասնիկների միություն (այս մոտեցումը` որպես Կավալիերիի «անտրոհելիների մեթոդ», հատկապես մշակվել է 16-17-րդ դարերում)։

Որպես հետևանք, դիտարկվող անընդմեջ շարժումը դառնում է թռիչքաձև։ Արիստոտելի մեկնաբան Ալեքսանդր Աֆրոդիսիացին այսպես է նկարագրել Էպիկուրոսի կողմնակիցների տեսաետները[28].

Պնդելով, որ տարածությունը, շարժումը և ժամանակը բաղկացած են անբաժանելի մասնիկներից, նրանք նաև պնդում են, որ շարժվող մարմինը շարժվում է անբաժանելի մասերից կազմված տարածության ողջ երկարությամբ, և դրա մեջ ներառված անբաժանելի մասերից յուրաքանչյուրի վրա շարժում չկա, այլ միայն շարժման արդյունք կա։
- Ալեքսանդր Աֆրոդիսիացի

Նման մոտեցումն անմիջապես արժեզրկում է Զենոնի պարադոքսները, քանի որ այնտեղից հեռացնում են բոլոր անսահմանությունները։

Նոր ժամանակների դիսկուրս

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զենոնի ապորիաների շուրջ հակասությունները շարունակվեցին նաև նոր ժամանակներում։ Մինչև 17-րդ դարը ապորիայի նկատմամբ հետաքրքրություն չկար, և նրանց արիստոտելյան գնահատականը ընդհանուր առմամբ ընդունված էր։ Առաջին լուրջ ուսումնասիրությունը ձեռնարկել է ֆրանսիացի մտածող Պիեռ Բեյլը՝ հայտնի «Պատմական և քննադատական բառարանի» հեղինակը (1696 թ.): Զենոնի մասին հոդվածում Բեյլը քննադատեց Արիստոտելի դիրքորոշումը և եկավ այն եզրակացության, որ Զենոնը ճիշտ էր. ժամանակի, ընդարձակության և շարժման հասկացությունները ներառում են դժվարություններ, որոնք անհաղթահարելի են մարդկային մտքի համար[29]։

Ապորիայի նմանատիպ թեմաներն արծարծվում են Կանտի անտինոմիաներում։ Հեգելն իր «Փիլիսոփայության պատմության» մեջ ընդգծել է, որ նյութի վերաբերյալ Զենոնի դիալեկտիկան «մինչ օրս չի հերքվել» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt)[2]: Հեգելը Զենոնին գնահատել է որպես «դիալեկտիկայի հայր» ոչ միայն անտիկ, այլ նաև դիալեկտիկա բառի հեգելյան իմաստով։ Նա նշել է, որ Զենոնը տարբերում է զգայական և մտավոր շարժումը։ Վերջինս, իր փիլիսոփայությանը համապատասխան, Հեգելը բնութագրել է որպես հակադրությունների համակցություն և բախում, որպես հասկացությունների դիալեկտիկա[30]։ Հեգելը չի պատասխանում այն հարցին, թե որքանով է այս վերլուծությունը կիրառելի իրական շարժման համար. այլ սահմանափակվում է եզրակացությամբ.

«Զենոնը գիտակցեց տարածության և ժամանակի մասին մեր պատկերացումների սահմանումները և հայտնաբերեց դրանցում պարունակվող հակասությունները»[31]։

19-րդ դարի երկրորդ կեսին բազմաթիվ գիտնականներ, արտահայտելով տարբեր տեսակետներ, վերլուծել են Զենոնի պարադոքսները։ Մասնավորապես[2]`

  • գերմանացի փիլիսփա Էդուարդ Ցելլերը
  • ֆրանսիացի գիտության պատմաբան Պոլ Տաններին, որը Զենոնի պարադոքսները դիտարկել է որպես պյութագորասականությունը քննադատելու արգումենտ[32]
  • ֆրանսիացի պատմաբան Վիկտոր Բրոշարը, որի կարծիքով Զենոնի տրամաբանությունն անթերի է։

Ժամանակակից մաթեմատիկայում

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բավական հաճախ եղել են (և շարունակում են լինել) փորձեր՝ մաթեմատիկորեն հերքելու Զենոնի դատողությունները և դրանով իսկ «փակելու թեման»։ Օրինակ՝ «Աքիլեսը և կրիան» ապորիայի համար նվազող միջակայքների շարք կառուցելով, կարելի է հեշտությամբ ապացուցել, որ այն ընդունելի է, այնպես որ Աքիլլեսը կանցնի կրիային։ Այս «հերքումները», սակայն, փոխում են վեճի էությունը։ Զենոնի ապորիաները ոչ թե մաթեմատիկական մոդելի, այլ իրական շարժման մասին են, և, հետևաբար, անիմաստ է պարադոքսի վերլուծությունը սահմանափակել ներմաթեմատիկական դատողություններով. ի վերջո, Զենոնը ճշգրիտ կասկածի տակ է դնում իդեալիզացված մաթեմատիկական հասկացությունների կիրառելիությունը իրական շարժմանը[15][33][34]։ Իրական շարժման ադեկվտության խնդրի և դրա մաթեմատիկական մոդելի մասին կխոսվի այս հոդվածի հաջորդ բաժիննում։

Դ. Հիլբերտը և Պաուլ Բերնայսը «Մաթեմատիկայի հիմքերը» մենագրության մեջ (1934) նշում են «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիայի մասին[35].

Սովորաբար մարդիկ փորձում են շրջանցել այս պարադոքսը` պնդելով, որ այս անվերջ թվով ժամանակային միջակայքերի գումարը իսկապես համընկնում է և, հետևաբար, տալիս է վերջավոր ժամանակային տևողություն։ Այնուամենայնիվ, այս պատճառաբանությունը բացարձակապես չի անդրադառնում մեկ էապես պարադոքսալ պահի, պարադոքս, որը կայանում է նրանում, որ մեկը մյուսի հաջորդող իրադարձությունների ինչ-որ անսահման հաջորդականությունը, մի հաջորդականություն, որի ավարտը մենք նույնիսկ չենք կարող պատկերացնել (ոչ միայն ֆիզիկապես, այլ առնվազն, սկզբունքորեն), ըստ էության, այն այնուամենայնիվ պետք է ավարտվի:

Զենոնի ապորիայի լուրջ ուսումնասիրություններում դիտարկում են ֆիզիկամաթեմատիկական մոդելները միասին։ Ռ. Կուրանտը և Հ. Ռոբինսը ենթադրում են, որ պարադոքսների լուծման համար անհրաժեշտ է էականորեն խորացնել ֆիզիկական շարժման վերաբերյալ մեր գիտելիքները[36]։ Ժամանակի ընթացքում շարժվող մարմինը հաջորդաբար անցնում է իր հետագծի բոլոր կետերով, սակայն, եթե տարածության և ժամանակի որևէ ոչ զրոյական միջակայքի համար հեշտ է նշել դրան հաջորդող միջակայքը, ապա կետի (կամ պահի) համար անհնար է նշեք դրան հաջորդող կետը, և դա խախտում է հաջորդականությունը։ «Մնում է անխուսափելի անհամապատասխանություն ինտուիտիվ գաղափարի և ճշգրիտ մաթեմատիկական լեզվի միջև, որը նախատեսված է դրա հիմնական գծերը գիտական, տրամաբանական տերմիններով նկարագրելու համար։ Զենոնի պարադոքսներն ակնհայտորեն բացահայտում են այս անհամապատասխանությունը»։

Հիլբերտը և Բերնայսը կարծիք են հայտնում, որ պարադոքսների էությունը կայանում է մի կողմից շարունակական, անվերջ տրոհելի մաթեմատիկական մոդելի անբավարարության մեջ, մյուս կողմից՝ ֆիզիկապես դիսկրետ նյութի մեջ[37]։ «Մենք պարտադիր չէ, որ հավատանք, որ շարժման մաթեմատիկական տարածաժամանակային ներկայացումը ֆիզիկական նշանակություն ունի տարածության և ժամանակի կամայականորեն փոքր ինտերվալների համար»։ Այլ կերպ ասած, պարադոքսներն առաջանում են «տարածության կետ» և «ժամանակի պահ» իդեալականացված հասկացությունների իրականությանն անհամապատասխան կիրառման պատճառով, որոնք իրականում չունեն անալոգներ, քանի որ ցանկացած ֆիզիկական օբյեկտ ունի ոչ զրոյական չափեր, ոչ զրոյական տևողություն և չի կարող անվերջ տրոհվող լինել։ Նման տեսակետներից են.

Էլեական դպրոցի մատնանշած հակասությունները վերաբերում են ոչ այնքան ինքնին շարժմանը, որքան շարժման այն արհեստական վերափոխմանը, որ կատարում է մեր միտքը[38]։ Անրի Բերգսոն

Բերգսոնը կարծում էր, որ շարժման և անցած հեռավորության միջև կա հիմնարար տարբերություն։ Անցած տարածությունը կարող է կամայականորեն տրոհել, մինչդեռ շարժումը չի կարող կամայականորեն տրոհվել։ Աքիլլեսի յուրաքանչյուր քայլը և կրիայի յուրաքանչյուր քայլը պետք է անբաժանելի համարել։ Նույնը վերաբերում է նետի թռիչքին.

Ճշմարտությունն այն է, որ եթե նետը դուրս է գալիս A կետից և ընկնում է B կետ, ապա նրա AB շարժումը նույնքան պարզ, նույնքան անբաժանելի է, քանի որ դա շարժում է, որքան այն արձակող աղեղի լարվածությունը:

Անրի Բերգսոն

Տարածության անսահման տրոհման հարցը (անկասկած, դեռ վաղ Պյութագորասականներից առաջադրված), ինչպես հայտնի է, հանգեցրեց փիլիսոփայության զգալի դժվարությունների. էլեատներից մինչև Բոլցանո և Կանտոր, մաթեմատիկոսներն ու փիլիսոփաները չկարողացան լուծել պարադոքսը. ինչպես վերջավոր մեծությունը կարող է բաղկացած լինել չափեր չունեցող անվերջ թվով կետերից[39]:

Նիկոլյա Բուրբակի

Բուրբակիի դիտողությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտ է բացատրել, թե ինչպես է ֆիզիկական պրոցեսը վերջավոր ժամանակում ստանում անսահման շատ տարբեր վիճակներ։ Հնարավոր բացատրություններից մեկն է. տարածա-ժամանակը իրականում դիսկրետ է, այսինքն՝ կան և՛ տարածության, և՛ ժամանակի նվազագույն մասեր (քվանտներ)[40]։ Եթե դա այդպես է, ապա ապորիաներում անսահմանության բոլոր պարադոքսները անհետանում են։

Տեսությունը, որ տարածությունը շարունակական է, ինձ սխալ է թվում, քանի որ [ քվանտային մեխանիկայում ] դա հանգեցնում է անսահման մեծ քանակությունների և այլ դժվարությունների։ Բացի այդ, այն չի պատասխանում այն հարցին, թե ինչով են որոշվում բոլոր մասնիկների չափերը։ Ես խիստ կասկածում եմ, որ երկրաչափության պարզ պատկերացումները տարածության անվերջ փոքր մասերի վրա տարածելը ճիշտ չեն[41]:

Ռիչարդ Ֆեյնման

Դիսկրետ տարածաժամանակը ակտիվորեն քննարկվում էր ֆիզիկոսների կողմից դեռևս 1950-ականներին, մասնավորապես, դաշտի միասնական տեսության նախագծերի[42][Ն 3] հետ կապված, բայց այս ճանապարհով զգալի առաջընթաց չստացվեց։

Վեկշենովը կարծում է, որ պարադոքսները լուծելու համար անհրաժեշտ է ներմուծել թվային կառուցվածք, որն ավելի համահունչ է ինտուիտիվ ֆիզիկական հասկացություններին, քան Կանտորի կետային կոնտինուումը[43]։ Շարժման ոչ շարունակական տեսության օրինակ է առաջարկել Սադեո Շիրայշին[44]։

Մորիս Քլայնը Զենոնի ապորիաների վերաբերյալ իր մեկնաբանություններում գրում է. «Կարևոր է հստակ գիտակցել, որ բնությունը և բնության մաթեմատիկական նկարագրությունը նույնը չեն, և տարբերությունը միայն նրանով չէ, որ մաթեմատիկան իդեալականացում է… Բնությունը միգուցե անհամեմատ ավելի բարդ է, կամ նրա կառուցվածքը հատուկ ճշտայնություն չունի»[45]։

Ըստ «Մաթեմատիկական հանրագիտարանային բառարանի»` ապորիայի էությունը բավականին խորն է և առաջարկում է խնդրի լուծման տարբեր ուղիներ[46]։

Կարելի է վիճարկել սովորաբար օգտագործվող մաթեմատիկական մոդելի հարմարությունը կամ համապատասխանությունը իրական շարժմանը։ Ֆիզիկական անվերջ փոքր և անվերջ մեծ քանակությունների հայեցակարգն ուսումնասիրելու համար բազմիցս փորձեր են արվել կառուցել իրական թվերի տեսություն, որտեղ Արքիմեդի աքսիոմը չի գործում։ Ամեն դեպքում, ոչ Արքիմեդյան դասավորված դաշտերի [ օրինակ` Ռացիոնալ ֆունկցիա ] տեսությունը ժամանակակից հանրահաշվի շատ բովանդակալից մասն է։

Շարժման վերլուծական տեսության ադեկվատություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Փոփոխական արագությամբ շարժման ընդհանուր տեսությունը մշակվել է 17-րդ դարի վերջին Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից։ Տեսության մաթեմատիկական հիմքը մաթեմատիկական անալիզն է, որն ի սկզբանե հիմնված է անվերջ փոքր մեծության հայեցակարգի վրա։ Դիսկուրսի ընթացքում, թե ինչ է իրենից ներկայացնում անվերջ փոքրը, կրին վերածնվել են երկու հնագույն մոտեցումները[47][48]։

  • Առաջին մոտեցումը, որին հետևում էր Լայբնիցը, գերիշխում էր ողջ 18-րդ դարում։ Հին ատոմիզմի նման, նա անվերջ փոքրերը դիտում է որպես թվերի հատուկ տեսակ (զրոյից մեծ, բայց ցանկացած սովորական դրական թվից փոքր)։ Այս մոտեցման խիստ հիմնավորումը (այսպես կոչված՝ ոչ ստանդարտ վերլուծությունը) մշակվել է 20-րդ դարում Աբրահամ Ռոբինսոնի կողմից։ Ռոբինսոնի վերլուծությունը հիմնված է ընդլայնված թվային համակարգի վրա (հիպերիրական թվեր)։ Իհարկե, Ռոբինսոնի անվերջ փոքրերը քիչ նմանություն ունեն հնագույն ատոմներին, թեկուզ միայն այն պատճառով, որ դրանք անվերջ տրոհելի են, բայց նրանք թույլ են տալիս մեզ ճիշտ դիտարկել ժամանակի և տարածության շարունակական կորը որպես անսահման թվով անվերջ փոքր հատվածներից բաղկացած։ Իրական շարժման մաթեմատիկական նկարագրության մեջ ոչ ստանդարտ վերլուծության կիրառումը և դրա հետ կապված բարդ խնդիրները ուսումնասիրված են Անտոնոպուլոսի[49] և Պապա-Գրիմալդիի[34] աշխատություններում, ինչպես նաև ՄակԼաֆլինի և Միլլերի[50][51] աշխատություններում։
  • Երկրորդ մոտեցումը Կոշին առաջարկել է 19-րդ դարի սկզբին։ Դրա վերլուծությունը հիմնված է սովորական իրական թվերի վրա, իսկ սահման հասկացությունն օգտագործվում է շարունակական կախվածությունները վերլուծելու համար։ Նյուտոնը, Դ'Ալամբերը և Լագրանժը համանման կարծիք ունեին վերլուծության հիմնավորման վերաբերյալ, թեև նրանք միշտ չէ, որ հետևողական էին այս կարծիքին։

Երկու մոտեցումներն էլ գործնականում համարժեք են, բայց ֆիզիկայի տեսանկյունից առաջինն ավելի հարմար է. Ֆիզիկայի դասագրքերը հաճախ պարունակում են արտահայտություններ, ինչպիսիք են «ենթադրենք dV-ն անսահման փոքր ծավալ է...»: Մյուս կողմից, չի լուծվել այն հարցը, թե որ մոտեցումն է ավելի մոտ ֆիզիկական իրականությանը։ Առաջին մոտեցմամբ անհասկանալի է, թե բնության մեջ ինչին են համապատասխանում անվերջ փոքր թվերը։ Երկրորդ մոտեցմամբ, ֆիզիկական և մաթեմատիկական մոդելի համարժեքությանը խոչընդոտում է այն փաստը, որ սահմանին անցնելու գործողությունը գործիքային հետազոտական տեխնիկա է, որը բնության մեջ իր անալոգը չունի։ Մասնավորապես, դժվար է խոսել անսահման շարքերի ֆիզիկական ադեկվատության մասին, որոնց տարրերը պատկանում են տարածության և ժամանակի կամայական փոքր ինտերվալների (թեև նման մոդելները հաճախ և հաջողությամբ օգտագործվում են որպես իրականության մոտավոր մոդել)[5][52]։ Վերջապես, ապացուցված չէ, որ ժամանակը և տարածությունը որևէ չափով կառուցված են իրական կամ հիպերիրական թվերի մաթեմատիկական կառուցվածքներին[43]։

Հարցին լրացուցիչ բարդություն հաղորդեց քվանտային մեխանիկան, որը ցույց տվեց, որ միկրոաշխարհում դիսկրետության դերը խիստ աճել է։ Այսպիսով, Զենոնի կողմից սկսված տարածության, ժամանակի և շարժման կառուցվածքի մասին քննարկումները ակտիվորեն շարունակվում են և հեռու են ավարտվելուց։

Զենոնի այլ ապորիաներ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զենոնի վերը նշված (ամենահայտնի) ապորիաները վերաբերում էին անվերջության մաթեմատիկական հասկացության կիրառմանը շարժման, տարածության և ժամանակի վրա։ Այլ ապորիաներում Զենոնը ցույց է տալիս անսահմանության այլ, ավելի ընդհանուր ասպեկտներ։ Այնուամենայնիվ, ի տարբերություն ֆիզիկական շարժման մասին երեք հայտնի ապորիաների, մյուս ապորիաներն ավելի քիչ հստակ են արտահայտված և հիմնականում վերաբերում են զուտ մաթեմատիկական կամ ընդհանուր փիլիսոփայական ասպեկտներին։ Անսահման բազմությունների մաթեմատիկական տեսության հայտնվելով նրանց նկատմամբ հետաքրքրությունը զգալիորեն նվազել է։

Շարժվող շարքեր կամ Մարզադաշտ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Զենոնի շարժվող շարքերի պարադոս. «Սա... ենթադրում է եզրակացություն, որ տրված ժամանակի կեսը հավասար է այդ ժամանակի կրկնապատիկին»[53]

Չորրորդ [փաստարկը] հավասար մարմինների մասին է, որոնք մարզադաշտում շարժվում են հակառակ ուղղություններով, [իրենց համեմատ] հավասար մարմիններին զուգահեռ. ոմանք [շարժվում են] ստադիոնի վերջից, մյուսները՝ մեջտեղից՝ հավասար արագությամբ, որից, ինչպես ինքն է կարծում, հետևում է, որ ժամանակի կեսը հավասար է կրկնակի ժամանակի։

Արիստոտել («Ֆիզիկա», Z, 9)

Հետազոտողներն այս ապորիայի տարբեր մեկնաբանություններ են առաջարկում։ Լ.Վ.Բլիննիկովը այն ձևակերպել է հետևյալ կերպ.

Երկու մարմին շարժվում են իրար հանդիպակաց։ Այս դեպքում նրանցից մեկը մյուսի կողքով անցնելիս կծախսի նույնքան ժամանակ, որքան կծախսեր, եթե անցներ հանգիստ կանգնածի կողքով։ Այսպիսով, կեսը հավասար է ամբողջին[54]։


Ս.Ա. Յանովսկայան առաջարկում է այլ մեկնաբանություն՝ հիմնված ատոմիստական նախադրյալների վրա[55]։

Ենթադրենք ժամանակը կազմված է չտրոհվող տարածական ատոմներից։ Պատկերացնենք երկու վազորդներին ասպարեզի հակառակ ծայրերում, այնքան արագ, որ նրանցից յուրաքանչյուրին պահանջվում է ժամանակի միայն մեկ ատոմ՝ մի ծայրից մյուսը վազելու համար։ Եվ ենթադրենք, որ երկուսն էլ միաժամանակ են դուրս գալիս հակառակ ծայրերից։ Երբ տեղի ունենա նրանց հանդիպումը, ժամանակի չտրոհվող ատոմը կկիսվի, այսինքն՝ ժամանակի ատոմներում մարմինները չեն կարող շարժվել, ինչպես «Նետը» ապորիայում էր։

Ըստ այլ մեկնաբանությունների, այս ապորիայի գաղափարը նման է Գալիլեոյի պարադոքսին կամ «Արիստոտելի անիվին». անվերջ բազմությունը կարող է լինել իր մասին հավասարազոր[56]։

Բազմապատիկություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ապորիայի մի մասը նվիրված է աշխարհի միասնության և բազմապատիկության խնդրի քննարկմանը[17]։

Եթե դրանք [առկա բաները] շատ են, ուրեմն պետք է լինեն այնքան շատ, որքան կան, ոչ ավել, ոչ պակաս։ Իսկ եթե նրանց թիվը այնքան է, որքան կան, ապա նրանց [թիվը] սահմանափակ է։ [Բայց] եթե գոյությունն ունեցողները շատ են, ապա նրանց [թիվը] սահմանափակ չէ, որովհետև գոյություն ունեցող [իրերի] միջև միշտ այլ բաներ կան, և կրկին՝ ուրիշները նրանց միջև։ Եվ այսպես, գոյություն ունեցող [իրերի] [թիվը] անսահմանափակ է։

Նմանատիպ հարցեր են քննարկվում Պլատոնի «Պարմենիդես» երկխոսության մեջ[57], որտեղ Զենոնն ու Պարմենիդեսը մանրամասն բացատրում են իրենց դիրքորոշումը։ Ժամանակակից լեզվով Զենոնի այս դատողությունը նշանակում է[17], որ բազմության կեցությունը չի կարող իրապես անվերջ լինել և հետևաբար պետք է լինի վերջավոր, բայց գոյություն ունեցող բաներին միշտ կարող են նոր բաներ ավելացնել, ինչը հակասում է վերջավորությանը։ Եզրակացություն՝ կեցությունը չի կարող բազմապատիկ լինել (Այդ մասին գրել է նաև` ֆրանսիացի փիլիսոփա Ռ. Գենոնի Les états multiples de l’Être - «Կեցության բազմաթիվ վիճակներ», գրքում[58])։

Մեկնաբանները նշում են, որ այս ապորիան իր սխեմայով չափազանց հիշեցնում է 19-րդ և 20-րդ դարերի վերջում հայտնաբերված բազմությունների տեսության անտինոմիաները[17][59], հատկապես Կանտորի պարադոքսը. մի կողմից՝ բոլոր բազմությունների բազմության հզորությունն ավելի մեծ է քան ցանկացած որևէ բազմության հզորությունը, բայց մյուս կողմից, ցանկացած բազմության համար դժվար չէ մատնանշել ավելի մեծ հզորության բազմությունը (Կանտորի թեորեմ)։ Այս հակասությունը, լինելով Զենոնի երկու ապորիաների ոգով, լուծվում է միանշանակ. բոլոր բազմությունների բազմության աբստրակցիան որպես գիտական հասկացություն ճանաչվում է որպես անընդունելի և գոյություն չունեցող։

Չափ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս ապորիան հետևայալ կերպ է բացատրում Սիմպլիկիոս Կիլիկիացին (մոտ 490-560)[14].

Ապացուցելով, որ «եթե մի բան չունի մեծություն, այն գոյություն չունի», Զենոնն ավելացնում է. «Եթե մի բան գոյություն ունի, ապա անհրաժեշտ է, որ այն ունենա որոշակի չափ, որոշակի հաստություն և այնպես, որ լինի որոշակի հեռավորություն այն բանի միջև, ինչը ներկայացնում է դրա մեջ փոխադարձ տարբերությունը»։ Նույնը կարելի է ասել այդ բանի նախորդ` այն մասի մասին, որը աննշանորոն նախորդում է դիխոտոմիկ բաժանմանը։ Ուրեմն այս նախորդն էլ պետք է ունենա որոշակի չափ և իրեն նախորդողը։ Մեկ անգամ ասվածը կարելի է մշտապես կրկնել։ Այսպիսով, երբեք չի լինի սահմանի այնպիսի ծայր, որտեղ չլինեն միմյանցից տարբեր մասեր։ Այսպիսով, եթե կա բազմապատիկություն, անհրաժեշտ է, որ իրերը միաժամանակ լինեն մեծ և փոքր, և այնքան փոքր, որ չափ չունենան, և այնքան մեծ, որ լինեն անվերջ… Այն, ինչ բացարձակապես չունի չափ, հաստություն, ծավալ, ընդհանրապես գոյություն չունի։

Այլ կերպ ասած, եթե իրը կիսով չափ պահպանում է իր որակը, ապա սահմանում մենք ստանում ենք, որ բանը և՛ անվերջ մեծ է (քանի որ այն անսահման բաժանելի է), և՛ անվերջ փոքր։ Ավելին, պարզ չէ, թե ինչպես կարող է գոյություն ունեցող բանն ունենալ անվերջ փոքր չափեր։ Այս նույն փաստարկներն ավելի մանրամասն առկա են Ֆիլոպոնոսի մեկնաբանություններում[60]։ Նաև Զենոնի նման դատողությունը մեջբերում և քննադատության է ենթարկում Արիստոտելն իր «Մետաֆիզիկա» գրքում I, գլուխ IV[61]:

Եթե «ինքնին իրենով ամբողջն» անբաժանելի է, ապա, ըստ Զենոնի, այն պետք է լինի ոչինչ։ Իրականում, եթե որևէ բանի վրա ինչ-որ բան ավելացնելը չի դարձնում այն ավելին, իսկ դրանից խլելը չի պակասեցնում այն, ապա, ըստ Զենոնի, այս բանը չի պատկանում գոյությանը՝ հստակ հավատալով, որ գոյությունը մեծություն է, իսկ եթե մեծություն է, ուրեմն ինչ-որ նյութական է. չէ որ նյութականը լիովին գոյ է; բայց մյուս մեծությունները` օրինակ` հարթությունն ու գիծը, եթե դրանց ավելացվի, մի դեպքում ավելանում են, մյուս դեպքում՝ ոչ; իսկ կետը և ամբողջը դա ոչ մի կերպ չեն անում։ Եվ քանի որ Զենոնը դատում է մոտավոր, և քանի որ մի անբաժանելի բան կարող է գոյություն ունենալ, և ընդ որում, այնպես, որ այն ինչ-որ կերպ պաշտպանված լինի Զենոնի դատողություններից (քանի որ եթե այդպիսի անբաժանելիին ավելացվի, այն, այնուամենայնիվ, չի ավելանա, այլ կբազմապատկվի), ապա հարց է առաջանում, թե ինչպե՞ս նման մեկ ամբողջից կամ մի քանիսից մեծություն կստացվի։ Սա ենթադրել, նույն է` թե պնդել, որ գիծը կազմված է կետերից։

Արիստոտել «Մետաֆիզիկա»

Տեղի պարադոքս

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե գոյություն ունեցող ամեն ինչ իր տեղն ունի, ապա տեղն էլ տեղ կունենա, և այդպես ad infinitum [ անվերջություն ][62]։

Ըստ Արիստոտելի ապորիան պնդում է. եթե գոյություն ունեցող ամեն ինչ տեղավորվի հայտնի տարածության մեջ (տեղ, հուն.` տոպոս), ապա պարզ է, որ կլինի տարածության տարածություն, և այդպես կձգվի դեպի անսահմանություն[62]։ Արիստոտելը նկատում է սրա մասին, որ տեղը բան չէ և սեփական տեղի կարիք չունի։ Այս ապորիան թույլ է տալիս ընդլայնված մեկնաբանություն, քանի որ էլեատները չէին ճանաչում մարմիններից առանձին տարածություն, այն տարածությունը, որում դրանք տեղակայված էին, այսինքն՝ նույնացնում էին մատերիան և նրա զբաղեցրած տարածքը[15]։ Թեև Արիստոտելը մերժում է Զենոնի դատողությունը, սակայն իր «Ֆիզիկա»-ում նա հանգում է ըստ էության նույն եզրակացության, ինչ էլեատները. տեղը գոյություն ունի միայն դրա մեջ գտնվող մարմինների նկատմամբ։ Միևնույն ժամանակ, Արիստոտելը լռելյայն շրջանցնում է բնականորեն առաջացած հարցը, թե մարմնի տեղա��արժվելու դեպքում ինչպես է տեղի ունենում մարմնի տեղի փոփոխությունը[63]։

Հատիկի պարադոքս

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կորեկի ամեն մի հատիկ ընկնելիս անձայն է հասնում գետին։ Այդ դեպքում ինչո՞ւ է հացահատիկի մեդիմնը (մեծ պարկը) աղմուկով ընկնում[64]։

Այստեղից հազարավոր ոչինչ դառնում է ինչ-որ բան, անհեթեթ եզրակացություն[65]։

Ռութլեջ փիլիսոփայության բառարան

Զենոնի ձևակերպումը քննադատության է ենթարկվել։ Արիստոտելը բացատրում է հատիկի պոտենցիալով[66]։ Պարադոքսը հեշտությամբ բացատրվում է ձայնի ընկալման շեմով. առանձին հատիկը չի շարժվում անձայն, այլ շատ կամաց, այդ պատճառով անկման ժամանակ ձայնը չի լսվում։ Ապորիայի իմաստն է՝ ապացուցել, որ մասը նման չէ ամբողջին (որակապես տարբերվում է նրանից) և, հետևաբար, անսահման բաժանելիությունն անհնար է[67]։

Նմանատիպ պարադոքսներ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նմանատիպ պարադոքսներ առաջարկել է անտիկ հունական փիլիսոփա, մեգարյանական Էվբուլիդը մ.թ.ա 4-րդ դարու.մ «Ճաղատ» և «Կույտ» պարադոքսները. «մեկ հատիկը կույտ չէ, մեկ հատիկ ավելացնելով հարցը չի փոխվում, քանի հատիկից է սկսվում կույտը»։

Պատմական նշանակություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

«Զենոնը բացահայտեց այն հակասությունները, որոնց մեջ ընկնում է մտածողությունը, երբ փորձում է հասկանալ անսահման հասկացությունը սահմանումներով։ Նրա ապորիաներն առաջին պարադոքսներն են, որոնք առաջացել են անսահման հասկացության հետ կապված»[14]։ Արիստոտելի հստակ տարբերակումը պոտենցիալ և փաստացի անսահմանության միջև հիմնականում Զենոնի ապորիաները հասկանալու արդյունքն է։ Էլեատիկ պարադոքսների այլ պատմական արժանիքներ.

  • «Զենոնի հիմնավորումը, որը ներկայացված է ճշգրիտ և հստակ արձակով, զուտ տրամաբանական ապացույցների առաջին օրինակն է պատմության մեջ։ Հենց սրանով է պայմանավորված Զենոնի բացառիկ կարևոր տեղը գիտության պատմության մեջ»[68]։ Անալոգիաներով հիմնավորումները և նախորդ սերնդի փիլիսոփաներին բնորոշ բանաստեղծական ֆանտազիաները փոխարինվեցին խիստ դեդուկտիվ տրամաբանությամբ։
  • Հստակ մատնանշում է, որ իրականության մեր ըմբռնումը (ներառյալ մաթեմատիկականը) կարող է չհամապատասխանել այդ իրականությանը[69]. հետագայում գիտությունը բախվել է այս թեզի գոյության բազմաթիվ օրինակների։
  • Փաստի արձանագրում, որ անընդմեջության բաժանումն առանձին կետերի (պահերի), այսինքն՝ անընդմեջ ու դիսկրետ հասկացությունների խառնումը հակասական է[7]։

Ինչպես նշվեց վերևում, անտիկ ատոմիզմի ձևավորումից հետո փորձում էին պատասխանել ապորիայի կողմից առաջադրված հարցերին։ Հետագայում հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվեցին մաթ.անալիզը, բազմությունների տեսությունը և ֆիզիկայի ու փիլիսոփայության նոր մոտեցումները։ Դրանցից և ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր լուծում, սակայն հնագույն խնդրի նկատմամբ շարունակական բուռն հետաքրքրության փաստը ցույց է տալիս նրա էվրիստիկական արգասավորությունը։

Զենոնի ապորիայի և ժամանակակից գիտության միջև շփման տարբեր կետեր քննարկվում են Զուրաբ Սիլագաձեի հոդվածում[52]։ Այս հոդվածի վերջում հեղինակը եզրակացնում է.

Երկուսուկես հազարամյակ առաջ առաջադրված և դրանից հետո բազմիցս ուսումնասիրված խնդիրները դեռ չեն սպառվել։ Զենոնի պարադոքսներն ազդում են իրականության հիմնարար ասպեկտների վրա՝ տեղայնացումը, շարժումը, տարածությունը և ժամանակը։ Եբեմն-երբեմն այս հասկացությունների նոր և անսպասելի կողմեր են հայտնաբերվում, և ամեն դարում օգտակար է լինում կրկին ու կրկին վերադառնալ Զենոնին։ Դրանց վերջնական լուծմանը հասնելու գործընթացը անվերջ է թվում, և մեզ շրջապատող աշխարհի մեր ըմբռնումը դեռ թերի է և մասնատված։

Ըստ որոշ փիլիսոփաների Զենոնի պարադոքսները և այլ գլուխկոտրուկներ (տես Թոմսոնի լամպը)[70] մնում են համապատասխան մետաֆիզիկական խնդիրներ[71][72][73]։ Թեև մաթեմատիկան կարող է հաշվարկել, թե որտեղ և երբ Աքիլեսը կհաղթահարի Զենոնի պարադոքսը, բայց որոշ փիլիսոփաներ կարծում են, որ մաթեմատիկան չի լուծում պարադոքսների բարձրացրած բոլոր հարցերը։

Հավանաբար, շարժման վերաբերյալ Զենոնի փաստարկներն իրենց պարզությամբ և ունիվերսալությամբ, միշտ կծառայեն որպես մի տեսակ «Ռոշարխի պատկեր», որի վրա մարդիկ կարող են նախագծել իրենց ամենահիմնարար ֆենոմենոլոգիական մտահոգությունները (եթե այդպիսիք կան)[71]։

Կևին Բրաուն «Զենոնը և շարժման պարադոքսը»

Մշակութային անդրադարձ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պուշկինի «Շարժում» (1825) բանաստեղծությունը[74] նվիրած է Զենոնի պարադոքսներին։

Շարժում չկա, ասաց մորուքավոր իմաստունը։
Մյուսը լռեց և սկսեց քայլել նրա առջև։
Նա չէր կարող ավելի խիստ առարկել.
Բոլորը գովում էին խրթին պատասխանը։

     Բայց, պարոնայք, այս զվարճալի դեպքը
     Մեկ այլ օրինակ է մտքիս բերում.
     Չէ որ արևն ամեն օր շարժվում է մեր աչքի առաջ,
     Համա թե, իրավացի է համառ Գալիլեոն։

Այս պատմական անեկդոտում «մորուքավոր իմաստունը» Զենոնի կողմնակիցն է (մեկնաբան Էլիաս Ալեքսանդրացին, ինչպես վերը նշվեց, փաստարկը վերագրել է հենց Զենոնին[3]): Այդ անեկդոտի տարբեր տարբերակներ կան, որոնցում նրա հակառակորդը Դիոգենեսն է կամ Անտիսթենեսը (երկուսն էլ Զենոնից զգալիորեն ուշ են ապրել, ուստի նրա հետ վիճել չէին կարող)։ Հեգելի հիշատակած անեկդոտի տարբերակներից մեկում, երբ էլեատը Դիոգենեսի փաստարկը համոզիչ համարեց, Դիոգենեսը փայտով ծեծեց նրան ակնհայտի վերաբերյալ չափազանց մեծ վստահության համար[75]։

Լյուիս Քերոլ և Հոֆշթադեր

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լյուիս Քերոլը 1895 թվականին գրել է տրամաբանական հանելուկներով երկխոսություն-պարադոքս. «Ի՞նչ ասաց Կրիան Աքիլլեսին»[76][77]։ Հեղինակը փորձել է բացահայտել նման պարադոքսը զուտ տրամաբանության ոլորտում։ Եթե Քերոլի փաստարկը ճիշտ է, ապա հետևանքն այն է, որ Զենոնի շարժման պարադոքսները, ըստ էության, տարածության և ժամանակի խնդիրներ չեն, այլ խորանում են հենց բանականության մեջ։

Դուգլաս Հոֆշթադերը Քերոլի հոդվածը դարձրել է իր «Գյոդել, Էշեր, Բախ։ այս անծայր ոսկե շղթան» (անգլ.` Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid) գրքի առանցքը։ Այն գրվել է 1979 թվականին և ներկայացված է որպես «փոխաբերական ֆուգա» բանականության և մեքենաների մասին` Լյուիս Քերոլի ոգով։ Գրքում զուգահեռներ են անցկացվում տրամաբան Գյոդելի, նկարիչ Էշերի և կոմպոզիտոր Բախի գործերի և կենսագրության միջև։ Ըստ էության` մանրամասն լուսաբանվում են կոնցեպցիաները, որոնց վրա հենվում են մաթեմատիկան, համաչափությունը և բանականությունը։ Գրքում շատ այլ երկխոսություններ կան Աքիլլեսի և կրիայի միջև, որոնք պարզաբանում են Զենոնի փաստարկները։ Հոֆշթադերը կապում է Զենոնի պարադոքսները Գյոդելի անավարտության թեորեմի հետ՝ փորձելով ցույց տալ, որ Զենոնի կողմից բարձրացված խնդիրները համատարած են և դրսևորվում են ֆորմալ համակարգերի տեսության, հաշվարկների և մտքի փիլիսոփայության մեջ։

Տոլստոյ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տոլստոյը «Պատերազմ և խաղաղություն» հերոսապատման երրորդ հատորում (3-րդ մասի սկիզբ) վերապատմում է Աքիլլեսն ու կրիան պարադոքսը և առաջարկում իր մեկնաբանությունը. չի կարելի անընդմեջ շարժումը բաժանել «առանձին միավորների», փոխարենը՝ պետք է օգտագործել «անվերջ փոքր մեծությունները» միացնող ապարատը»։ Այնուհետև, Տոլստոյը նշում է. «շարժման պատմական օրենքները փնտրելիս տեղի է ունենում ճիշտ նույն բանը», և քննադատում է պատմության անընդմեջ ընթացքը որպես առանձին ազդեցիկ պատմական գործիչների կամքով համարելու փորձերը կամ պատմությունը մինչև առանձին հիմնական պատմական իրադարձությունների հանգեցնելը։

Վալերի

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պոլ Վալերին իր «Գերեզմանոցը ծովի մոտ» պոեմում (Le Cimetiere Marin, 1920) գրել է[78].

   Զենոն Էլեայից, իր սուր մտքով,
   Ամբողջովին խոցեց ինձ դողացող նետով,
   Ու թեև ինքն անտեսել էր դրա թռիչքը։

      Ձայնով ծնվածս սպանվեցավ նետով։
      Մի՞ թե ստվերը Կրիայի կծածկի
    Անշարժիս` Աքիլեսի արագ վազքից։

Ֆ. Դիքի «Անխոնջ գորտի մասին» ֆանտաստիկ պատմվածքի սյուժեն հիմնված է «Դիխոտոմիա» ապորիայի վրա։

Բորխեսի աշխատություններում Աքիլլեսի ապորիան հիշատակվում է մի քանի անգամ։ Դրանում նկարագրված պարադոքսալ իրավիճակը արտացոլվել է նաև տարբեր հումորային ստեղծագործություններում։ Տակեշի Կիտանոն նկարահանել է «Աքիլլեսն ու կրիան» ֆիլմը, 2008 թվականին։

Տես նաև

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նշումներ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
  1. ↑ Արիստոտելի հիմնարար բնափիլիսոփայական տրակտատը, որը դրել է ֆիզիկա յի՝ որպես գիտության (նախադասական, մինչնյուտոնյան իմաստով) հիմքերը։
  2. ↑ ἐπιχείρημα - հին հունարեն` էպիխեյրեմա, հանրագումար, եզրակացություն, փաստարկում։
  3. ↑ Միասնական ֆիզիկամաթեմատիկակական հիպոթետիկ տեսություն, որը նկարագրում է բոլոր հայտնի հիմնարար փոխազդեցությունները։

Ծանոթագրություններ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
  1. ↑ История математики, 1970, էջ 90
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Маковельский А. О., 1999, часть 14
  3. ↑ 3,0 3,1 Фрагменты ранних греческих философов, 1989, էջ 302
  4. ↑ Комарова, 1988, էջ 15-16
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Яновская С. А., 1963, էջ 116-118
  6. ↑ Ивин А. А. По законам логики. — М.: Молодая гвардия, 1983. — 208 с. — («Эврика» (серия книг)). «Архивированная копия». Արխիվացված օրիգինալից 2007 թ․ նոյեմբերի 19. Վերցված է 2010 թ․ մարտի 7-ին.{{cite web}}: CS1 սպաս․ unfit URL (link)
  7. ↑ 7,0 7,1 Рожанский И. Д. Античная наука. — М.: Наука, 1980. — С. 52. — 198 с. — (История науки и техники).
  8. ↑ 8,0 8,1 Սովետական մեծ հանրագիտարան // Апория. — 2-е изд. — Т. 2. (ռուս.)
  9. ↑ А. В. Лебедев. Парменид // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль (Միսլ), 2010. — 2816 с.
  10. ↑ А. В. Лебедев. Элейская школа // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль (Միսլ), 2010. — 2816 с.
  11. ↑ 11,0 11,1 Рожанский И. Д. Ранняя греческая философия // Фрагменты ранних греческих философов
  12. ↑ Маковельский А. О., 1999, часть 16
  13. ↑ Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1962. — Т. 2.
  14. ↑ 14,0 14,1 14,2 Гайденко П. П., 1980
  15. ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 Маковельский А. О., 1999, часть 15
  16. ↑ Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия. — М.: Высшая школа, 2005. — 408 с. — ISBN 5-06-003049-0
  17. ↑ 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 Апории Зенона (Философская энциклопедия), 1962
  18. ↑ Zeno of Elea Արխիվացված 2017-07-17 Wayback Machine // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  19. ↑ Комарова, 1988, էջ 50-52
  20. ↑ Диоген Лаэртский Жизнь, учения и изречения знаменитых философов, глава «Пифагор».
  21. ↑ Кузнецов Б. Г., 1961, էջ 18—20
  22. ↑ Комарова, 1988, էջ 21
  23. ↑ Берестов, 2021, էջ 169
  24. ↑ Берестов, 2021, էջ 170—171
  25. ↑ Берестов, 2021, էջ 165
  26. ↑ Комарова, 1988, էջ 29-30
  27. ↑ Кузнецов Б. Г., 1961, էջ 38
  28. ↑ Лурье С. Очерки из истории античной науки. — М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. — С. 181. — 403 с.
  29. ↑ Комарова, 1988, էջ 31-35
  30. ↑ Комарова, 1988, էջ 35-41
  31. ↑ Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. — М.: Соцэкгиз, 1959. — Т. IX. — С. 244.
  32. ↑ Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. — СПб., 1902.
  33. ↑ Берестов, 2021, էջ 83—84
  34. ↑ 34,0 34,1 Papa-Grimaldi, Alba. «Why Mathematical Solutions of Zeno's Paradoxes Miss the Point: Zeno's One and Many Relation and Parmenides' Prohibition». The Review of Metaphysics. Արխիվացված օրիգինալից 2011 թ․ օգոստոսի 28-ին. Վերցված է 2011 թ․ օգոստոսի 17-ին.
  35. ↑ Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М., 1979. — С. 40.
  36. ↑ Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. — 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 353. — 568 с. — ISBN 5-900916-45-6
  37. ↑ История математики, 1970, էջ 93
  38. ↑ Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа — язык науки. — М.: Техносфера, 2008. — С. 111. — ISBN 978-5-94836-172-7
  39. ↑ Николя Бурбаки. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 38.
  40. ↑ van Bendegem, Jean Paul Discussion:Zeno's Paradoxes and the Tile Argument // Philosophy of Science. —Belgium, 1987. — Т. 54. — С. 295—302.
  41. ↑ Фейнман Р. Характер физических законов. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1987. — С. 152—153. — 160 с. — (Библ. Квант, выпуск 62).
  42. ↑ Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1980. — С. 368—374.
  43. ↑ 43,0 43,1 Векшенов, 2008
  44. ↑ Shiraishi, 1954
  45. ↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 401—402. «Архивированная копия». Արխիվացված է օրիգինալից 2007 թ․ փետրվարի 12-ին. Վերցված է 2010 թ․ մարտի 15-ին.
  46. ↑ Драгалин А. Г. Антиномия // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 73—75. — 847 с.
  47. ↑ Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987.
  48. ↑ Гайденко П. П. «Понятие времени и проблема континуума». Արխիվացված օրիգինալից 2011 թ․ հունիսի 28-ին. Վերցված է 2011 թ․ հունվարի 10-ին.
  49. ↑ Antonopoulos C. The Tortoise is Faster // The Southern Journal of Philosophy. — 2003. — Vol. 41. — P. 502—503.
  50. ↑ McLaughlin W. I., Miller, S. L. An Epistemological Use of Nonstandard Analysis to Answer Zeno’s Objections Against Motion // Synthese. — 1992. — Vol. 92. — P. 371–384.
  51. ↑ McLaughlin W. I. Resolving Zeno’s Paradoxes // Scientific American. — Vol. 271, № 5. — P. 66–71.
  52. ↑ 52,0 52,1 Silagadze, Z. K. «Zeno meets modern science» (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2011 թ․ օգոստոսի 14-ին. Վերցված է 2010 թ․ դեկտեմբերի 30-ին.
  53. ↑ «The Internet Classics Archive | Physics by Aristotle». classics.mit.edu. էջ VI:9, 239b33. Վերցված է 2023 թ․ սեպտեմբերի 10-ին.
  54. ↑ Блинников Л. В. «Краткий словарь философских персоналий». Արխիվացված օրիգինալից 2010 թ․ հունիսի 20-ին. Վերցված է 2010 թ․ ապրիլի 30-ին.
  55. ↑ Яновская С. А., 1963, էջ 127
  56. ↑ Богомолов С. А. Актуальная бесконечность (Зенон Элейский, Ис. Ньютон, Г. Кантор). — Л.—М.: ОНТИ, 1934. — С. 53. — 78 с.
  57. ↑ Парменид, 1968—1972
  58. ↑ RENÉ GUÉNON (1932). «LES ÉTATS MULTIPLES DE L'ÊTRE» (PDF).
  59. ↑ Zeno’s Paradoxes Արխիվացված 2022-03-01 Wayback Machine, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  60. ↑ «Зенон Элейский» — Энциклопедия Кругосвет. Արխիվացված օրիգինալից 2011 թ․ օգոստոսի 14-ին. Վերցված է 2010 թ․ դեկտեմբերի 30-ին.
  61. ↑ Аристотель Метафизика // Собрание сочинений в 4-х тт. — М.: Мысль, 1975. — Т. 1. — 552 с.
  62. ↑ 62,0 62,1 «The Internet Classics Archive | Physics by Aristotle». classics.mit.edu. էջ IV:1, 209a25. Վերցված է 2023 թ․ սեպտեմբերի 10-ին.
  63. ↑ Комарова, 1988, էջ 124-129
  64. ↑ Ивин А. А. Логика. Учебное пособие, глава 7.
  65. ↑ The Michael Proudfoot, A.R. Lace. Routledge Dictionary of Philosophy. Routledge 2009, p. 445
  66. ↑ «The Internet Classics Archive | Physics by Aristotle». classics.mit.edu. էջ VII:5, 250a20. Վերցված է 2023 թ․ սեպտեմբերի 10-ին.
  67. ↑ Комарова, 1988, էջ 122-124
  68. ↑ Фрагменты ранних греческих философов, 1989, էջ 27
  69. ↑ История математики, 1970, էջ 89
  70. ↑ Allen, Benjamin William (2008). Zeno, Aristotle, the Racetrack and the Achilles: A Historical and Philosophical Investigation. New Brunswick, NJ: Rutgers, The State University of New Jersey. pp. 209–210. ISBN 9781109058437
  71. ↑ 71,0 71,1 Brown, Kevin. «Zeno and the Paradox of Motion». Reflections on Relativity. Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2010 թ․ հունիսի 6-ին.
  72. ↑ Moorcroft, Francis. «Zeno's Paradox». Արխիվացված է օրիգինալից 2010 թ․ ապրիլի 18-ին.
  73. ↑ Papa-Grimaldi, Alba (1996). «Why Mathematical Solutions of Zeno's Paradoxes Miss the Point: Zeno's One and Many Relation and Parmenides' Prohibition» (PDF). The Review of Metaphysics. 50: 299–314.
  74. ↑ «ДВИЖЕНИЕ». Արխիվացված օրիգինալից 2007 թ․ հունիսի 22-ին. Վերցված է 2010 թ․ մարտի 7-ին.
  75. ↑ Кузнецов Б. Г., 1961, էջ 19
  76. ↑ Кэрролл, Льюис. Двухчастная инвенция, или Что черепаха сказала Ахиллесу // Знание — сила. — 1991. — № 9. — С. 6—12.
  77. ↑ Carroll, Lewis (1895 թ․ ապրիլի 1). «What the Tortoise Said to Achilles». Mind (անգլերեն). IV (14): 278–280. doi:10.1093/mind/IV.14.278. ISSN 0026-4423.
  78. ↑ Валери, Поль. Кладбище у моря. Արխիվացված 2010-04-24 Wayback Machine

Գրականություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Փիլիսոփայական
Տրամաբանական
Տնտեսական
Որոշումների տեսություն
Ֆիզիկական
Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Զենոնի ապորիաներ» հոդվածին։
 ⛭ 
  Բառարաններ և հանրագիտարաններ
Չափորոշչային վերահսկողություն
BNF: 12135409n · Microsoft: 7707877 · SUDOC: 029806550
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Զենոնի_ապորիաներ&oldid=10003056» էջից