Fonction polygamma

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée^[1] ${\displaystyle \psi _{m}(z)}$ ou ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$ et définie comme la m+1^e dérivée du logarithme de la fonction gamma ${\displaystyle \Gamma (z)}$ :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)\qquad }$.

Ce qui équivaut à la dérivée m^e de la dérivée logarithmique de la fonction gamma ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}$ :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=\psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}$

• ${\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,}$ est la fonction digamma ${\displaystyle \psi (z)}$.

La dérivée de la fonction gamma est donc

${\displaystyle \Gamma '(z)=\psi (z)\Gamma (z)}$.

• ${\displaystyle \psi _{1}(z)=\psi '(z)\,}$. On appelle parfois la fonction ${\displaystyle \psi _{1}}$ (ou ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$) la fonction trigamma.

La dérivée seconde de la fonction gamma est donc

${\displaystyle \Gamma ''(z)=(\psi _{0}^{2}(z)+\psi _{1}(z))\Gamma (z)}$.

La fonction polygamma peut être représentée par :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}\mathrm {e} ^{-zt}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}~\mathrm {d} t.}$

Ceci n'est valable que pour Re (z) > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :

${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$.	${\displaystyle \psi _{0}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{1}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{2}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{3}(z)}$.	${\displaystyle \psi _{4}(z)}$.

Elle vérifie la relation de récurrence

${\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.\,}$

Le théorème de multiplication (en) donne

${\displaystyle k^{m}\psi _{m-1}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{m-1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),}$

valable pour m > 1 ; et pour m = 0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :

${\displaystyle k(\psi (kz)-\ln(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

La fonction polygamma a pour représentation en série :

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}},}$

qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).\,}$

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

La série de Taylor au point z = 1 est

${\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},\,}$

qui converge pour |z| < 1. Ici, ζ est la fonction zêta de Riemann.

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1964 (ISBN 978-0-486-61272-0), section 6.4

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polygamma function » (voir la liste des auteurs).

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