Tühi hulk

Tühja hulka võib defineerida näiteks nii:

${\displaystyle \varnothing }$ = {x : x≠x}

Tingimuseks võib olla ka mõni muu väide, mis on alati väär.

Tühja hulga standardne tähistus, mille võttis kasutusele Nicolas Bourbaki (sümboli autor on André Weil), on sümbol ${\displaystyle \varnothing }$  (variandid: ${\displaystyle \emptyset }$ , Ø). Kasutatakse ka tähistust "{}". On kasutatud ka tähist Λ.

• Võrrandi 3x=5x lahendite hulk tingimusel, et x>0, on tühi hulk.
• Nullist väiksemate naturaalarvude hulk on tühi hulk.

1. Tühi hulk on mis tahes hulga A alamhulk:

   ${\displaystyle \forall A:\ \varnothing \subset A}$ 

2. Tühi hulk on üheselt määratud.
3. Mis tahes hulga A ühend tühja hulgaga on A:

   ${\displaystyle \forall A:\ \varnothing \cup A=A}$ 

4. Mis tahes hulga A ühisosa tühja hulgaga on tühi hulk:

   ${\displaystyle \forall A:\ \varnothing \cap A=\varnothing }$ 

5. Mis tahes hulga A otsekorrutis tühja hulgaga on tühi hulk:

   ${\displaystyle \forall A:\ \varnothing \times A=\varnothing }$ 

6. Tühja hulga võimsus on null;

   |${\displaystyle \varnothing }$ | = 0

Tühja hulga lõplikuks lugemine on kokkuleppe küsimus. ^[1]

Tühi hulk ei ole sama mis eimiski. See on hulk, millesse mitte miski ei kuulu, kuid hulk ise on miski. See võib esimesel kokkupuutel raskusi tekitada. Osalt tuleb see nähtavasti sellest, et intuitiivne asjade virna mõiste ei ole päriselt vastavuses hulga formaalse definitsiooniga. Võib näiteks rääkida hulgast, millel on null elementi, mitte aga virnast, milles on null taldrikut. Hulka oleks parem võrrelda kotiga, milles on elemendid: tühi kott on küll tühi, aga ta on ikkagi olemas.

On inimesi, keda teeb nõutuks tühja hulga omadus, et ta on mis tahes hulga A alamhulk. Alamhulga definitsiooni kohaselt tähendab see, et hulga ${\displaystyle \varnothing }$  iga (ehk mis tahes) elemendi x korral kuulub x hulka A. Et "iga" (või "mis tahes") on mõjuv sõna, siis me ootame intuitiivselt, et hulgas ${\displaystyle \varnothing }$  peab tingimata olema mitu sellist elementi, mis on ühtlasi hulga A elemendid, kuid hulgas ${\displaystyle \varnothing }$  lihtsalt pole ühtegi elementi. Nii võib tekkida ettekujutus, et ${\displaystyle \varnothing }$  ei olegi üldse hulga A alamhulk. Aga tegelikult ei ole sõna "iga" väljendis "hulga ${\displaystyle \varnothing }$  iga element" üldse nii mõjuv. Kui on väär, et hulga ${\displaystyle \varnothing }$  iga element on hulga A element, siis peab hulgas ${\displaystyle \varnothing }$  olema vähemalt üks element, mis ei ole hulga A element. Et hulgas ${\displaystyle \varnothing }$  ei ole üldse ühtegi elementi, siis "hulga ${\displaystyle \varnothing }$  iga element" ei käigi tegelikult ühegi elemendi kohta, ja nõnda ei olegi hulgas ${\displaystyle \varnothing }$  ühtegi elementi, mis ei ole hulga A element, nii et hulga ${\displaystyle \varnothing }$  iga element on hulga A element: hulk ${\displaystyle \varnothing }$  on hulga A alamhulk. Ükski väide, mis algab sõnadega "hulga ${\displaystyle \varnothing }$  iga elemendi korral" ei väida midagi ühe elemendi kohta: tegemist on tühja tõega. Selle kohta öeldakse mõnikord, et tühja hulga elementide kohta on kõik tõene.

Tuleb ka tähele panna, et hulk {${\displaystyle \varnothing }$ } ei ole tühi hulk, sest tühi hulk on selle hulga elemendiks.

Tühi hulk on vajalik muu hulgas selleks, et tehetel hulkadega (näiteks ühisosa võtmisel) oleks alati tulemiks hulk. Tühja hulga olemasolu võimaldab ka üldisi väiteid hulkade kohta lihtsamalt sõnastada. Samuti võimaldab tühja hulga olemasolu määratleda hulka ka tingimuse kaudu, mida mitte ükski objekt ei rahulda.

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas (aksiomaatilise hulgateooria variandis) tagab tühja hulga olemasolu tühja hulga aksioom. Tühja hulga ainsus järeldub ekstensionaalsuse aksioomist.

Kuigi tühja hulga mõiste on matemaatikas standardne ja üldtunnustatud, on siiski selle õigustatuses kahtlejaid.

Jonathan Lowe on väitnud, et kuigi see mõiste "oli matemaatika ajaloos kahtlemata oluline teetähis, ... ei tohiks arvata, nagu oleneks selle kasulikkus arvutamisel sellest, et ta tõesti tähistab mingit objekti". Pole sugugi selge, et see mõiste on mõtestatud. "Kõik, mida me tühja hulga kohta eales teada oleme saanud, taandub sellele, et 1) ta on hulk, 2) tal ei ole elemente ja 3) ta on ainuke hulk, millel pole elemente. Ent on väga palju asju, "millel pole elemente" hulgateoreetilises mõttes: nende seas on kõik mittehulgad. On täiesti selge, miks neil asjadel pole elemente, sest nad ei ole hulgad. Ebaselge on aga on see, kuidas saab hulkade seas olla ainuke hulk, millel pole elemente. Me ei saa sellist entiteeti eksisteerima manada pelga stipuleerimise teel."

George Boolos väitis 1984 ajakirjas Journal of Philosophy artikli "To be is to be the value of a variable …" (ilmus ka tema raamatus Logic, Logic and Logic), et võib jõuda kaugele pelgalt üle indiviidide mitmuslikult kvantifitseerides, reifitseerimata hulki ainsuslike entiteetidena, millel on teised entiteedid elementideks.

Tom McKay on laitnud "singularistlikku" eeldust, et loomuliku keele väljendeid, mis sisaldavad mitmusevormi, saab analüüsida hulgamärkide taoliste mitmusesurrogaatide abil. Ta pakub välja antisingularistliku teooria, mis erineb hulgateooriast. Selles teoorias puudub tühja hulga analoog. On vaid seos "seas", mis on nii kuuluvuse (elemendi ja hulga vahelise seose) kui ka sisalduvuse (alamhulga ja hulga vahelise seose) analoog.

Ka tühja operandide hulgaga tehted võivad nõutuks teha. (Need tehted on nullaarsed.)

Näiteks tühja liidetavate hulga korral võrdub summa nulliga; tühja tegurite hulga korral võrdub korrutis ühega (tühi korrutis). See võib tunduda kummalisena, sest tühjal hulgal pole ju elemente; kuidas siis saab vahet olla, kas neid liidetakse või korrutatakse? Tuleb välja, et nende tehete tulemid ütlevad rohkem tehte kui tühja hulga kohta. Näiteks null on liitmise ühikelement ja üks on korrutamise ühikelement.

Tühjal hulgal on null elementi ehk tema võimsus on null. Seos nende kahe mõiste vahel läheb veelgi kaugemale: standardses naturaalarvude hulgateoreetilises definitsioonis defineeritaksegi nulli tühja hulgana. 1 defineeritakse hulgana {0}, 2 hulgana {0,{1}} jne.

Kui A on hulk, siis leidub parajasti üks funktsioon f hulgast ${\displaystyle \varnothing }$  hulka A. Seda funktsiooni nimetatakse tühjaks funktsiooniks. Sellepärast on tühi hulk hulkade ja funktsioonide kategooria ainus algobjekt.

Tühja hulka saab muuta topoloogiliseks ruumiks ainult ühel viisil (defineerides tühja hulga lahtise hulgana); see tühi topoloogiline ruum on ainus algobjekt topoloogiliste ruumide ja pidevate kujutuste kategoorias.

Tühi hulk on nii lahtine kui ka kinnine. Tühja hulga sulund on tühi hulk.

• hulk
• null