Ühisosa

Hulkade A ja B ühisosa A  ∩ B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B.

Sümbolite abil väljendudes,

${\displaystyle A\cap B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\in B\}}$ ,

kus ${\displaystyle \wedge }$  tähistab konjunktsiooni.

• Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}.
• Arv 9 ei ole algarvude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja paaritute naturaalarvude hulga

{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

Hulkade ühisosa leidmisel on järgmised omadused:

• assotsiatiivsus

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$ 

• kommutatiivsus

${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$ 

• idempotentsus

${\displaystyle A\cap A=A}$ 

Üldiselt saab rääkida mittetühja hulkade kogumi

${\displaystyle M=\{A_{i}|i\in I\}}$ 

ühisosast

${\displaystyle \bigcap M\equiv \bigcap \limits _{i\in I}A_{i}}$ ,

kus I tähistab mõnd indeksihulka. Teisisõnu on hulga ${\displaystyle \cap }$  ${\displaystyle M}$  elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka ${\displaystyle A_{i}}$ .

Mõnikord räägitakse ühisosast ka juhul, kui ${\displaystyle M}$  on tühi hulk^[viide?].

Eelpool jäi vaatluse alt välja juhtum, kus M on tühi hulk ∅. Kogumi M lõige on defineeritud kui

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x:\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\}.}$ 

Kui M on tühi, siis ükski hulk ei ole hulga M element, nii et jääb küsimus, millised muutuja x väärtused rahuldavad seda tingimust. Paistab, et kõik võimalikud väärtused. Kui M on tühi, siis see tingimus on tühi tõde. Nii et tühja kogumi lõige peaks olema universaalhulk (lõike leidmise tehte universaalhulk), mida hulgateoorias ZFC ei eksisteeri.

Selle raskuse saab osaliselt lahendada, kui piirduda fikseeritud hulga U (universum) alamhulkadega. Sel juhul võib hulga U alamhulkade kogumi lõike defineerida nii:

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x\in U:\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\}.}$ 

Kui nüüd M on tühi, siis raskust ei teki. Lõige on lihtsalt kogu universum U, mis on lõike leidmise tehte ühikelement.

  Pikemalt artiklis Ühisosata hulgad

Kui ${\displaystyle \cap }$  ${\displaystyle M}$  on tühi hulk, siis öeldakse, et hulga M elemendid on ühisosata hulgad. Kui A∩B on tühi hulk, siis A ja B on ühisosata hulgad.

• Lõikegraaf
• Konjunktsioon
• Naiivne hulgateooria
• Ühend
• Täiend
• Hulkade vahe
• Sümmeetriline vahe
• Võimsus
• Itereeritud binaarne tehe
• MinHash