Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto ${\displaystyle P}$ en coordenadas cilíndricas se representa por ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ donde:

• ${\displaystyle \rho }$: Coordenada radial, definida como la distancia del punto ${\displaystyle P}$ al eje ${\displaystyle z}$, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano ${\displaystyle XY}$
• ${\displaystyle \varphi }$: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje ${\displaystyle X}$ la proyección del radiovector sobre el plano ${\displaystyle XY}$.
• ${\displaystyle z}$: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano ${\displaystyle XY}$.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

${\displaystyle 0\leq \rho <\infty \qquad 0\leq \varphi <2\pi \qquad -\infty <z<\infty }$

La coordenada azimutal ${\displaystyle \varphi }$ se hace variar en ocasiones desde ${\displaystyle -\pi }$ a ${\displaystyle \pi }$. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ${\displaystyle \rho }$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ${\displaystyle \rho }$ vuelve a aumentar, pero ${\displaystyle \varphi }$ aumenta o disminuye en ${\displaystyle \pi }$ radianes.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo ${\displaystyle \varphi }$, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \operatorname {sen} \varphi ,\qquad z=z}$

Las líneas coordenadas

• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje ${\displaystyle Z}$.
• Líneas coordenadas ${\displaystyle \varphi }$: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas ${\displaystyle z}$: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
• Superficies ${\displaystyle \varphi }$=cte.: Semiplanos verticales.
• Superficies ${\displaystyle z}$=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\hat {\varphi }}=-{\rm {sen}}\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\hat {z}}={\hat {z}}}$

e inversamente

${\displaystyle {\hat {x}}=\cos \varphi \,{\hat {\rho }}-{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\hat {y}}={\rm {sen}}\varphi \,{\hat {\rho }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\hat {z}}={\hat {z}}}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

${\displaystyle h_{\rho }=1\qquad h_{\varphi }=\rho \qquad h_{z}=1}$

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

${\displaystyle {\vec {r}}=\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}}}$

Nótese que no aparece un término ${\displaystyle \varphi \,{\hat {\varphi }}}$. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho \cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\rho \operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho (\cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }})+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho {\hat {\rho }}+z{\hat {z}}\end{array}}}$

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

${\displaystyle d{\vec {r}}=h_{\rho }\,d\rho \,{\hat {\rho }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+h_{z}\,dz\,{\hat {z}}=d\rho \,{\hat {\rho }}+\rho \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+dz\,{\hat {z}}}$

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, ${\displaystyle q_{3}={\rm {cte.}}}$ el resultado es

${\displaystyle d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}}$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

• ρ=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{\rho ={\rm {cte}}}=\rho \,d\varphi \,dz\,{\hat {\rho }}}$
• φ=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=d\rho \,dz\,{\hat {\varphi }}}$
• z=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{z={\rm {cte}}}=\rho \,d\rho \,d\varphi \,{\hat {z}}}$

${\displaystyle dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}}$

que para coordenadas cilíndricas da

${\displaystyle dV=\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

• Gradiente

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

• Divergencia

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

• Rotacional

${\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}\left|{\begin{matrix}{\hat {\rho }}&\rho \,{\hat {\varphi }}&{\hat {z}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{\rho }&\,\rho F_{\varphi }&F_{z}\end{matrix}}\right|={\hat {\rho }}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\hat {\varphi }}\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\hat {z}}\left[{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right]}$

• Laplaciano

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

• Coordenadas geográficas
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas esféricas
• Factores de escala