Diskussion:Standardbasis

Ich kannte leider nur die Standardbasis im Sinne der kanonischen Einheitsvektoren. Bei anderen Bedeutungen z.B. für Gröbnerbasis oder diese Sache Satz_von_Gerschgorin#Begleitmatrix_zur_Standardbasis mit Monomen wäre ich dankbar, wenn jemand einfach zu jeder weiteren Bedeutung noch einen Abschnitt anlegen könnte. Danke --WissensDürster 20:47, 16. Jul. 2009 (CEST)Beantworten

Was soll der Abschnitt mit der universellen Eigenschaft? Universelle Eigenschaften sind unter Isomorphie stets erhalten, das Element der Standardbasis Sein nicht. Gehört das nicht einfach in den Artikel Basis (Vektorraum)? Naja, das passt auch nicht richtig, es geht da um die universelle Konstruktion eines Raums ${\displaystyle K^{n}}$  (n möglicherweise unendlich), aber dabei tritt doch gerade keine Standardbasis auf. --Chricho ¹ ² ³ 16:29, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Außerdem funktioniert die Universalkonstruktion nicht, soweit ich das sehe, wähle als ${\displaystyle X}$  den Nullvektorraum, dann kann das ja nur funktionieren, wenn ${\displaystyle f}$  die Nullabbildung ist. Mit dem Vergissfunktor secheint das doch auch nichts zu tun zu haben, der weist ja einem Vektorraum seine Menge zu – da müsste die Basis genauso groß sein wie der Vektorraum. --Chricho ¹ ² ³ 16:51, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Wenn X der Nullraum ist, so ist zwangsläufig g(m)=0 für alle m aus M. Folglich erfüllt die Nullabbildung h=0 einzig das Gewünschte. Was aber fehlt: Ein solches U existiert zu jeder Menge M, und kann als ${\displaystyle U=K^{(M)}}$  realisiert werden (VR aller Abbildungen von M nach K, die fast alles auf die Null schicken). --Boobarkee (Diskussion) 18:39, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Und dann ist auch ${\displaystyle f(m)=0}$ , und ${\displaystyle f}$  ist ja unabhängig vom ${\displaystyle X}$ , das heißt die Konstruktion funktioniert so nicht, da das ${\displaystyle h}$  dann nicht mehr eindeutig ist für ${\displaystyle X\neq 0}$ . Weißt du, was ich meine? --Chricho ¹ ² ³ 18:47, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Richtig wäre es so: Es existiert ein ${\displaystyle f\colon M\to U}$ , sodass für jedes ${\displaystyle g\colon M\to X}$  genau eine lineare Abbildung ${\displaystyle h\colon U\to X}$  existiert mit ${\displaystyle g=hf}$ . Und jetzt ist das Ding auch linksadjungiert zum Vergissfunktor, also freuer Funktor. --Chricho ¹ ² ³ 18:54, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Stimmt, h geht im Artikel in die falsche Richtung. Das war mir entgangen.--Boobarkee (Diskussion) 19:17, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Habe das entsprechend korrigiert und ergänzt. Die Frage bleibt, ob das in diesen Artikel gehört. --Chricho ¹ ² ³ 19:17, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Naja, eigentlich ist es ja so: Zu jeder Menge M gibt es den freien Vektorraum ${\displaystyle U=K^{(M)}}$  über der Basis M. M (genauer natürlich f(M)) heißt dann die Standardbasis von U. --Boobarkee (Diskussion) 19:25, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Schon klar, aber wenn man das mittels einer Universalkonstruktion macht, geht es einem ja bei allem nur um „bis auf Isomorphie“, das konkrete ${\displaystyle (1,0,0)}$  etc. spielt nie eine Rolle, das kann man ja gar nicht hinschreiben, wenn man sagt ${\displaystyle U}$  sei universelle Lösung, weil man sich nicht auf eine Konstruktion festlegt, und ${\displaystyle f}$  wählt einfach eine beliebige Basis. Vielleicht wäre das in freier Modul besser aufgehoben? Ganz sicher bin ich mir aber nicht. --Chricho ¹ ² ³ 19:33, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Zwei Varianten sind denkbar:

1. Standardbasis wird nur im konkreten Modell ${\displaystyle U=K^{(M)}}$  definiert. Dann ist die universelle Eigenschaft fehl am Platz.
2. Sei (U,f) die Lösung des bewussten univ. Problems zu M. Dann heißt die Menge f(M) die Standardbasis von (U,f). Hier gehts nicht ohne die univ. Eigenschaft.

Unabhängig davon sollte die univ. E. bei freier Modul erwähnt werden. --Boobarkee (Diskussion) 20:41, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Von der zweiten Variante habe ich nie gehört (gut, das heißt nichts), es ist unbelegt, und ich konnte auf die Schnelle nichts finden (englische Wikipedia macht es nicht, hier wirds auch nicht gemacht). Ich stimme dir zu, dass die universelle Definition auf jeden Fall in den Artikel freier Modul gehört, da erwartet man so etwas nämlich auch. Bevor wir das hier entfernen, würde ich nochmal warten, ob Benutzer:Hagman etwas dazu sagen kann, der das geschrieben hat, habe ihn angeschrieben. --Chricho ¹ ² ³ 22:44, 19. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Hallo,

aus Neugier, wieso eine Einheitsbasis auch "kanonische" Basis heißt, habe ich hier mal nachgeschlagen ... und festgestellt, dass der Begriff nicht weiter erklärt wird.

In meinen nächsten mir zu Grunde liegenden Quellen findet sich dazu auch nichts.

Weiß jemand, wieso man die Einheits- / Standardbasis auch kanonische Basis nennt? Mit Kanonen wird das ja nichts zu tun haben, nehme ich mal stark an ;) ... oder gab es einen Hrn Kanon? (nicht signierter Beitrag von 134.91.40.41 (Diskussion) 14:34, 14. Aug. 2016 (CEST))Beantworten

Schau mal bei Kanon und such dir eine Bedeutung raus ;) -- HilberTraum (d, m) 09:20, 15. Aug. 2016 (CEST)Beantworten

Danke, soweit war ich auch schon. Kannst Du den beweisen, dass es daher kommt (mal abgesehen davon dass es passend erscheint)?

Zumal ich nichts raussuchen und selbstfinden, sondern "wissen" möchte - ich hab den Namen kanonische Basis ja nicht erfunden ;) also wird der Begriff ja auch irgendwo erläutert stehen.

Edit: das sollte eigentlich aber auch im Interesse der Wiki liegen ;) . (nicht signierter Beitrag von 134.91.46.201 (Diskussion) 14:23, 16. Aug. 2016 (CEST))Beantworten

Wenn du in der Frage mit Kanonen und Prof. Kanon kommst, darf ich ja wohl auch ein bisschen flapsig antworten ;-) Vielleicht liegt’s ja daran, dass die Einsen bei den Basisvektoren immer eine Stelle später einsetzen, genauso wie bei Bruder Jakob … Aber insgesamt gibt das Bedeutungsfeld in Kanon doch schon einen Eindruck, wie das Wort hier verwendet wird (Regel, Standard). Fehlt halt noch: „Wer hat’s erfunden?“ Ich weiß es nicht. Grüße -- HilberTraum (d, m) 15:51, 16. Aug. 2016 (CEST)Beantworten