居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中，材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与温度成反比。

${\displaystyle \mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}},}$

其中

${\displaystyle \mathbf {M} }$是磁化强度

${\displaystyle \mathbf {B} }$是磁感应强度

${\displaystyle T}$是温度，以开尔文为单位

${\displaystyle C}$是材料的居里常数

居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。

顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩${\displaystyle {\vec {\mu }}}$。磁场中磁矩的能量由下式给出：

${\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$

为简化计算，可将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是${\displaystyle \mu }$或者${\displaystyle -\mu }$ 。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量

${\displaystyle E_{0}=-\mu B}$

以及

${\displaystyle E_{1}=\mu B.}$

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度${\displaystyle \mu }$的期望值：

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}$

其中，每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出，配分函数${\displaystyle Z}$为概率提供必要的归一化（即所有这些概率的总和是归一的）。 一个粒子的配分函数是

${\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).}$

因此，在双态粒子简单的情形中，下式會成立

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).}$

这是单个粒子的磁化强度，固体的总磁化强度由下式给出

${\displaystyle M=n\left\langle \mu \right\rangle =n\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)}$

其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程。

皮埃尔·居里（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在${\displaystyle T}$值较大且${\displaystyle B}$值较小时，上式中双曲正切的自变量减少，即：

${\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1}$

上式有时被称为 居里区间. 同时，如果${\displaystyle |x|\ll 1}$，那么${\displaystyle \tanh x\approx x}$，因此

${\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={n\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},}$

因此磁化强度也很小，有${\displaystyle B\approx \mu _{0}H}$，可以得到

${\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k}}{\frac {H}{T}},}$

更重要的一点是，磁化率由下式给出

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}$

即

${\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}$

其中 居里常数 ${\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k}$，其单位是开尔文 (K)。^[1]

在低温或高场的情况下，${\displaystyle M}$趋向于${\displaystyle n\mu }$的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布，在低温下${\displaystyle M}$线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。

当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。 在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数

${\displaystyle C={\frac {\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}ng^{2}J(J+1)}$^[2]

其中 ${\displaystyle J}$是总角动量量子数，${\displaystyle g}$ 是 自旋的${\displaystyle g}$因子 (例如 ${\displaystyle \mu =gJ\mu _{B}}$ 是磁量子数)。

对于更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：布里渊函数。 当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。

当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

其中 ${\displaystyle \theta }$ 是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向${\displaystyle z}$轴）。对应的配分函数为

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

可以看出上式中被积函数对 ${\displaystyle \phi }$ 角没有依赖性，令 ${\displaystyle y=\cos \theta }$ 以获得

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

现在，磁化强度的${\displaystyle z}$分量的预期值（另外两个被视为零，由于在${\displaystyle \phi }$上的积分），由下式给出

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

为简化计算, 可以将其写作${\displaystyle Z}$微分：

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}$

（这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。）

继续推导发现

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}$

其中 ${\displaystyle L}$ 是郎之万函数:

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}$

对于小 ${\displaystyle x}$，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是${\displaystyle L(x)\approx x/3}$，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在 ${\displaystyle 1}$ 处饱和，并且同样会恢复相反的极限。

• 居里-韦斯定律