Центр кола дев'яти точок

Коло дев'яти точок, або коло Ейлера, проходить через дев'ять важливих точок трикутника — середини сторін, основи трьох висот і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника. Центр цього кола вказаний як точка X(5) в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга^[ru][1][2].

• Центр кола дев'яти точок ${\displaystyle O_{9}}$ лежить на прямій Ейлера трикутника посередині між ортоцентром ${\displaystyle H}$ і центром описаного кола ${\displaystyle O}$. Центроїд ${\displaystyle M}$ також лежить на цій лінії на відстані 2/3 від ортоцентра до центра описаного кола^[2][3], так, що

${\displaystyle O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.}$

Таким чином, якщо пара з цих чотирьох центрів відома, положення двох інших легко знайти.

• Ендрю Гінанд^[en] 1984 року, досліджуючи задачу, нині відому як задача визначення трикутника Ейлера, показав, що якщо положення цих центрів для невідомого трикутника задано, то інцентр трикутника лежить всередині ортоцентроїдального кола^[en] (кола, діаметром якого є відрізок між центроїдом і ортоцентром). Тільки одна точка всередині цього кола не може бути центром вписаного кола — це центр дев'яти точок. Будь-яка інша точка всередині цього кола визначає єдиний трикутник^[4][5][6][7].
• Відстань від центра кола дев'яти точок до інцентра ${\displaystyle I}$ задовольняє формулам:

${\displaystyle IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,}$

${\displaystyle IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,}$

${\displaystyle 2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,}$

де ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle r}$ — радіуси описаного і вписаного кіл відповідно.

• Центр кола дев'яти точок є центром описаного кола серединного трикутника, ортотрикутника і трикутника Ейлера^[8][3]. Загалом, ця точка є центром описаного кола трикутника, який має вершинами будь-які три з дев'яти перерахованих точок.
• Центр кола дев'яти точок збігається з центроїдом чотирьох точок — трьох точок трикутника і його ортоцентра^[9].
• З дев'яти точок на колі Ейлера три є серединами відрізків, що з'єднують вершини з ортоцентром (вершини трикутника Ейлера — Феєрбаха). Ці три точки є відображеннями середин сторін трикутника відносно центра кола дев'яти точок.
• Таким чином, центр кола дев'яти точок є центром симетрії, що переводить серединний трикутник у трикутник Ейлера — Феєрбаха (і навпаки)^[3].
• За теоремою Лестер центр кола дев'яти точок лежить на одному колі з трьома іншими точками — двома точками Ферма і центром описаного кола^[10].

• Точка Косніти трикутника, пов'язана з теоремою Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок^[11]. (див. рис.)
• Пряма ${\displaystyle X(485)X(486)}$, що проходить через дві точки Вектена ${\displaystyle X(485)}$ і ${\displaystyle X(486)}$, перетинає пряму Ейлера у центрі дев'яти точок трикутника ${\displaystyle ABC}$.

Трилінійні координати центра кола дев'яти точок рівні^[1][2]:

${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)}$

${\displaystyle =\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B}$

${\displaystyle =\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B}$

${\displaystyle =bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.}$

Барицентричні координати центра рівні^[2]:

${\displaystyle a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)}$

${\displaystyle =a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}~.}$

• Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вип. 3 (3 січня).
• Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7 (3 січня). Архівовано з джерела 26 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
• Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007. — 3 січня.
• Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11 (3 січня). Архівовано з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
• Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // The American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вип. 5 (3 січня).
• William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11 (3 січня). Архівовано з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
• Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (3 січня).
• Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Т. 7 (3 січня).

• Weisstein, Eric W. Центр кола 9 точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.