Теорема Абеля — Руффіні

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах — для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).

Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:

${\displaystyle x^{5}\pm x-1=0}$

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння ${\displaystyle \ n}$-го степеня має ${\displaystyle \ n}$ комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в його доведенні були прогалини. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок ${\displaystyle \ S_{n}}$ коренів многочленів.

При ${\displaystyle n\geq 5}$ група перестановок ${\displaystyle \ S_{n}}$ не є розв'язною.

Нехай

${\displaystyle \ y_{1}}$ — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$,

${\displaystyle \ y_{2}}$ — трансцендентне над розширенням ${\displaystyle \mathbb {Q} (y_{1})}$, і так далі до

${\displaystyle \ y_{5}}$ — трансцендентне над ${\displaystyle \mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$.

Позначимо ${\displaystyle \ E=\mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}),}$ тоді:

${\displaystyle f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})\in E[x].}$

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що ${\displaystyle \ f(x)}$ є симетричною функцією відносно ${\displaystyle \ y_{n},}$ оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

${\displaystyle \ s_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}}$

${\displaystyle \ s_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+\cdots +y_{4}y_{5}}$

і так далі до

${\displaystyle \ s_{5}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}.}$

Кожна перестановка ${\displaystyle \ \sigma }$ групи ${\displaystyle \ S_{5}}$ означає автоморфізм ${\displaystyle \ \sigma '}$ на ${\displaystyle \ E}$ що залишає ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ нерухомим та переставляє ${\displaystyle \ y_{n}.}$ Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже ${\displaystyle \ E}$ також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

${\displaystyle \ |G(E/F)|=|S_{5}|=5!}$

Єдиним розкладом ${\displaystyle \ S_{5}}$ є

${\displaystyle \ S_{5}\geq A_{5}\geq \{e\}}$ (де ${\displaystyle \ A_{5}}$ — альтернативна група).

Факторгрупа ${\displaystyle \ A_{5}/\{e\}}$ (ізоморфна самій ${\displaystyle \ A_{5}}$) не є абелевою групою, тому ${\displaystyle \ S_{5}}$ не є розв'язною.

• Абелеві рівняння
• Зворотне рівняння

• Квадратне рівняння
• Кубічне рівняння
• Рівняння четвертого степеня
• Дискретне перетворення Абеля
• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

• Rosen, Michael I. (1995). Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree (PDF). The American mathematical monthly. 102 (6): 495—505. (англ.)
• Short proof of Abel's theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved на YouTube (англ.)

• Jean-Pierre Tignol. Galois' Theory Of Algebraic Equations. — World Scientific Publishing Company, 2001. — 348 с. — ISBN 978-9810245412. (англ.)
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3. (рос.)
• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)