Ортант

Ортант^[1] (гіпероктант^[2][3]) — узагальнення понять двовимірного квадранта і тривимірного октанта на n-вимірний евклідів простір.

Ортант в n-вимірному просторі можна розглядати як перетин n взаємно перпендикулярних півпросторів; усього в n-вимірному просторі є ${\displaystyle 2^{n}}$ ортантів.

Замкнутий ортант у ${\displaystyle \mathbb {R} }$ це підмножина, що обмежує кожну прямокутну систему координат до невід'ємного або недодатного сектора. Така підмножина задається системою нерівностей:

${\displaystyle \varepsilon _{1}x_{1}\geq 0,\varepsilon _{2}x_{2}\geq 0,\dots \varepsilon _{n}x_{n}\geq 0}$,

де кожне ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ — -1 або +1.

Аналогічно, відкритий ортант в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — підмножина, задана системою строгих нерівностей:

${\displaystyle \varepsilon _{1}x_{1}>0,\varepsilon _{2}x_{2}>0,\dots \varepsilon _{n}x_{n}>0}$.

За розмірністю:

• В одному вимірі ортант — це промінь .
• У двох вимірах ортант — це квадрант .
• У трьох вимірах ортант — це октант .

Джон Конвей утворив термін n-ортоплекс із ортантовий комплекс як правильний багатогранник в n-вимірах з 2ⁿ гранями-симплексами, по одній на ортант.^[4]

Невід'ємний ортант є узагальненням першого квадранта на n-вимірів і є важливим у багатьох обмежених.

• Гіпероктаедр (або ортоплекс) — сімейство правильних багатогранників у n-вимірах, які можна побудувати з однією симплекс-гранню в кожному ортанті.
• Гіперкуб — сімейство правильних багатогранників у n-вимірах, які можна побудувати з однією вершиною в кожному ортанті.
• Ортотоп — узагальнення прямокутника в n-вимірах, з однією вершиною в кожному ортанті.

• The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, стор.113