Комутант

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Комутатор елементів ${\displaystyle g\in G}$ і ${\displaystyle h\in G}$ — елемент ${\displaystyle [g,h]}$, що визначається за формулою:

${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}\,}$.

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

${\displaystyle [G,G]=<\{[g,h]\,|\,(g,h)\in G^{2}\}>}$

• Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

• Комутант є характеристичною і, відповідно, нормальною підгрупою.

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

${\displaystyle Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,}$

Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

${\displaystyle \ G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbb {N} }$

Групи ${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$ називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується ${\displaystyle \ G^{(n)}=\{e\},}$ то група G називається розв'язною.

• Комутант групи є характеристичною підгрупою, а будь-яка підгрупа, що містить комутант є нормальною.

• Комутатор (математика)

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)