Коефіцієнт (математика)

Коефіцієнт — це мультиплікативний множник у математиці, який застосовується до певного члена полінома, ряду або будь-якого іншого типу виразу. Це може бути безрозмірна величина, і в цьому випадку вона називається числовим множником^[1]. Це також може бути константа з одиницями вимірювання, в цьому випадку вона називається постійним множником^[1]. Загалом, коефіцієнти можуть бути будь-якими виразами (включаючи такі змінні, як a, b і c)^[2][1]. У випадку, коли комбінація змінних і констант не бере участь у добутку, її можуть називати параметром^[1]. Наприклад, поліном ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$ має коефіцієнти 2, −1 і 3; також степені змінної ${\displaystyle x}$ в поліномі ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ мають коефіцієнтні параметри ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$.

Постійний коефіцієнт, також відомий як постійний член або просто константа, — це величина, неявно приєднана до нульового степеня змінної або не приєднана до інших змінних у виразі; наприклад, постійними коефіцієнтами у наведених вище виразах є число 3 і параметр c, представлені виразами 3 = 3 ⋅ x⁰ та c = c ⋅ x⁰. Коефіцієнт, приєднаний до найвищого степеня змінної полінома однієї змінної, називається головним коефіцієнтом. Наприклад, у наведених вище прикладах головними коефіцієнтами є 2 і a відповідно.

Диференціальні рівняння часто можна записати в термінах поліномів однієї чи кількох невідомих функцій та їх похідних. У таких випадках коефіцієнти диференціального рівняння є коефіцієнтами цього полінома, і вони можуть бути непостійними функціями. Коефіцієнт є постійним коефіцієнтом, якщо він є сталою функцією. Щоб уникнути плутанини, у цьому контексті коефіцієнт, який не пов'язаний з невідомими функціями або їх похідними, зазвичай називають постійним членом, а не постійним коефіцієнтом. Зокрема, у лінійному диференціальному рівнянні з постійним коефіцієнтом постійний член, як правило, не вважається постійною функцією.

Коефіцієнт — це мультиплікативний множник у математиці, який застосовується до певного члена полінома, ряду або будь-якого іншого типу виразу. Наприклад, у поліномі $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$зі змінними ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$, перші два доданки мають коефіцієнти 7 і −3. Третій доданок 1,5 є постійним коефіцієнтом. В останньому доданку виразу коефіцієнт дорівнює 1 і не вказується явно.

У багатьох випадках коефіцієнти є числами (як у попередньому прикладі), хоча вони можуть бути параметрами проблеми або будь-яким виразом у цих параметрах. У цьому випадку необхідно чітко розрізняти символи, що представляють змінні, і символи, що представляють параметри. Після популяризації Рене Декартом, змінні часто (але не завжди) позначають x, y ,…, а параметри a, b, c, …. Наприклад, якщо y вважати параметром у наведеному вище виразі, тоді коефіцієнт при x буде −3y, а постійний коефіцієнт (по відношенню до x) буде 1.5 + y.

Коли пишуть $${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$зазвичай мають на увазі, що x є єдиною змінною, а a, b і c є параметрами; тобто постійний коефіцієнт у цьому випадку дорівнює c.

Будь-який поліном однієї змінної x можна записати як $${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$для деякого цілого невід'ємного числа ${\displaystyle k}$, де ${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$ є коефіцієнтами. Сюди входить можливість того, що деякі вирази мають коефіцієнт 0; наприклад, в виразі ${\displaystyle x^{3}-2x+1}$, коефіцієнт ${\displaystyle x^{2}}$ дорівнює 0, а вираз ${\displaystyle 0x^{2}}$ не відображається явно. Для найбільшого ${\displaystyle i}$, такого, що ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ (якщо таке ${\displaystyle i}$ існує), ${\displaystyle a_{i}}$ називається старшим коефіцієнтом полінома. Наприклад, старшим коефіцієнт полінома $${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$є 4. Це можна узагальнити на поліноми багатьох змінних з урахуванням мономіального порядоку^[en], див. основа Гребнера^[en].

У лінійній алгебрі система лінійних рівнянь часто представляється її матрицею коефіцієнтів^[en]. Наприклад, системі рівнянь $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$відповідає матриця коефіцієнтів ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$ Матриці коефіцієнтів використовуються в таких алгоритмах, як метод Гаусса та метод Крамера, для пошуку розв'язку системи.

Провідний запис (який іноді називають провідним коефіцієнтом^{[джерело?]}) рядка в матриці є першим ненульовим записом у цьому рядку. Так, наприклад, в матриці $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$провідний коефіцієнт першого ряду дорівнює 1; другого ряду — 2; у третього ряду — 4, тоді як останній ряд не має провідного коефіцієнта.

Хоча коефіцієнти часто розглядаються як константи в елементарній алгебрі, вони також можуть розглядатися як змінні, коли контекст розширюється. Наприклад, координати ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ вектора ${\displaystyle v}$ у векторному просторі з базисом ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$ є коефіцієнтами базисних векторів у виразі $${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

• Коефіцієнт кореляції
• Степінь многочлена
• Нормований многочлен
• Біноміальний коефіцієнт

• Sabah Al-hadad and C.H. Scott (1979) College Algebra with Applications, page 42, Winthrop Publishers, Cambridge Massachusetts ISBN 0-87626-140-3.
• Gordon Fuller, Walter L Wilson, Henry C Miller, (1982) College Algebra, 5th edition, page 24, Brooks/Cole Publishing, Monterey California ISBN 0-534-01138-1.