Дельта-v

Дельта-v, або характеристічна швидкість орбітального маневру — в астродинаміці та ракетодинаміці зміна швидкості космічного апарату, яка необхідна для виконання орбітального маневру (зміни траєкторії). Є скаляром і має розмірність швидкості. Позначається у формулах як Δv. У разі реактивного двигуна зміна швидкості досягається шляхом викиду робочого тіла для реактивної тяги, яка і прискорює корабель у космосі. У разі виконання послідовності орбітальних маневрів дельта-v всіх маневрів додаються^[1].

${\displaystyle \Delta {v}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\left|T\right|}{m}}\,dt}$

де

T — миттєва тяга двигуна,

m — миттєва масса корабля.

За відсутності зовнішніх сил (вакуум, гравітація небесних тіл дуже мала, електромагнітні поля слабкі):

${\displaystyle \Delta {v}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\left|a\right|}\,dt,}$

де a — прискорення. Коли тяга прикладена у постійному напрямку (без рискання та тангажу), рівняння спрощується до

${\displaystyle \Delta {v}=\left|{v}_{1}-{v}_{0}\right|,}$

тобто просто до зміни швидкості (відносно точки відліку в інерційній системі).

Орбітальні маневри, як правило, виконуються викиданням з ракетного двигуна робочого тіла (газів) для створення протисили, що діє на корабель. Значення цієї сили дорівнює

${\displaystyle F=V_{\text{г}}\ {\dot {m}},}$

де

V_г — швидкість витікання газу (робочого тіла),

${\displaystyle {\dot {m}}}$ — масова витрата робочого тіла.

Прискорення (похідна від швидкості) ${\displaystyle {\dot {v}}}$ корабля, викликане цією силою, дорівнює

${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {F}{m}}=V_{\text{г}}{\frac {\dot {m}}{m}},}$

де m — маса корабля.

Змінюючи вільну змінну рівняння з часу t на масу корабля m, отримуємо:

${\displaystyle \Delta {v}=-\int _{m_{0}}^{m_{1}}{V_{\text{г}}{\frac {dm}{m}}}.}$

Якщо вважати швидкість витікання газу V_и постійною і незалежної від кількості палива, це рівняння інтегрується, набуваючи форми

${\displaystyle \Delta {v}=V_{\text{г}}\ \ln \left({\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right),}$

яка і є формулою Ціолковського.

Якщо, наприклад, 25 % початкової маси корабля — це паливо зі швидкістю витікання газів ${\displaystyle V_{\text{и}}}$ у районі 2100 м/с (звичайне значення для гідразину), то досяжна для корабля повна зміна швидкості дорівнює:

${\displaystyle \Delta {v}=2100\ \ln \left({\frac {1}{0{,}75}}\right)\,}$ м/с = 604 м/с .

Всі наведені формули добре сходяться з реальністю імпульсних маневрів, характерних для хімічних реактивних двигунів (тобто з реакцією окислення пального). Але для двигунів з малою тягою (наприклад, іонних двигунів), а також двигунів, що використовують електричні поля, сонячний вітер тощо, ці спрощені розрахунки менш точні, якщо періоди роботи двигунів (створення тяги) перевищують кілька годин.

Також для хімічних двигунів з великою тягою діє ефект Оберта^[en] — включення ракетного двигуна під час руху з високою швидкістю створює більше корисної енергії, ніж такий само ракетний двигун на повільній швидкості. Під час руху з високою швидкістю паливо має більше кінетичної енергії (вона може навіть перевищити потенційну хімічну енергію), і ця енергія може використовуватися для отримання більшої механічної потужності.

Запуск на низьку навколоземну орбіту з поверхні Землі вимагає дельта-v близько 7,8 км/с плюс від 1,5 до 2,0 км/с, що витрачаються на подолання опору атмосфери, гравітаційні втрати та маневри за тангажем. Потрібно враховувати, що при запуску з поверхні Землі у східному напрямку до швидкості ракети-носія додається від 0 (на полюсах) до 0,4651 км/с (на екваторі) швидкості обертання Землі, а при старті в західному напрямку (на ретроградну орбіту) швидкість ракети при старті зменшується на ту ж величину, що призводить до зменшення корисного навантаження ракети-носія (як у ізраїльської ракети «Шавіт») .

• Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.-Л. : ГИТТЛ, 1949. (2-е изд. 1952.)
• Космодемьянский А. А. Механика тел переменной массы (Теория реактивного движения). Ч. 1. — М., 1947.
• Михайлов Г. К. К истории динамики систем переменного состава // Известия АН СССР: Механика твердого тела. — 1975. — № 5 (14 декабря). — С. 41—51.
• Гурин А. И. Основы механики тел переменной массы и ракетодинамике. — М., 1960. — 222 с.
• Мандрыка А. П. Генезис современной ракетодинамики. — Л. : Наука, 1971. — 216 с.