Група Лі

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Групою Лі над полем ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$) називається група ${\displaystyle \ G}$, зі структурою диференційовного (гладкого) многовиду над ${\displaystyle K}$, причому відображення ${\displaystyle \operatorname {mul} }$ та ${\displaystyle \operatorname {inv} }$ визначені :

${\displaystyle \operatorname {mul} \colon G\times G\rightarrow G;\ \operatorname {mul} \,(x,y)=xy}$,

${\displaystyle \operatorname {inv} \colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname {inv} \,x=x^{-1}}$

є гладкими (у разі поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ вимагають голоморфності введених відображень).

Довільна комплексна ${\displaystyle n}$-мірна група Лі є дійсною групою Лі розмірності ${\displaystyle 2n}$. Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення ${\displaystyle \operatorname {mul} }$ і ${\displaystyle \operatorname {inv} }$ записуються аналітичними функціями.

Групи Лі названі на честь Софуса Лі. Вони природно виникають при розгляді неперервних симетрій. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в диференціальний геометрії. Вони також відіграють помітну роль у геометрії, фізиці і математичному аналізі.

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності), а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).

Цей клас неперервних груп перетворень є сукупність операторів ${\displaystyle T(a_{1},...,a_{k}),}$ диференційованих по скінченному числу параметрів ${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{k}.}$ Умова диференційовуваності є еквівалентною експониненційному представленню елемента групи

${\displaystyle T(a_{1},...,a_{k})=\exp[a_{i}x_{i}],}$

де інфінітезимальні оператори утворюють алгебру

${\displaystyle [x_{i}x_{k}]=f_{ik}^{l}x_{l}.}$

Знаходження незвідних зображень зводиться до визначення матричних елементів операторів алгебри, яка має певну структуру. Оператори представлення задовільняють співвідношенню ${\displaystyle T_{g_{1}g_{2}}=T_{g_{1}}T_{g_{2}},}$ де ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ - довільні елементи групи.

Формула, яка пов'язує скінченне перетворення із інфінітезимальними операторами, ${\displaystyle T=\exp[a_{i}x_{i}],}$ можна отримати, інтегруючи диференціальні рівняння групи, записані відносно параметрів ${\displaystyle a_{i},}$

${\displaystyle \partial T_{f}/\partial a_{j}(f)=\sum _{i=1}^{m}S_{ij}(f)x_{i}T_{f},}$

де ${\displaystyle m}$ - число параметрів групи. За умов ${\displaystyle S_{ij}(e)=\delta _{ij},}$ де ${\displaystyle e}$ - ідемпотент, отримуємо

${\displaystyle d/da_{j}\ln T_{f}=\sum _{i=1}^{m}S_{ij}x_{i}.}$

Рішення системи рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}d/da_{1}\ln T_{f}(a_{1},0,...,0)=\sum _{i=1}^{m}S_{i1}(a_{1},...,0)x_{i};\\...........................................\\d/da_{m}\ln T_{f}(0,...,a_{m})=\sum _{i=1}^{m}S_{im}(0,...,a_{m})x_{i}\end{cases}}}$

приводить до експониненційної форми зображення з визначення інфінітезимального оператора

${\displaystyle [\partial T_{f}/\partial a_{j}]_{j=1}=x_{j}.}$

Щоб запевнитися, що ${\displaystyle T}$ утворює групу, достатньо запевнитися, у справедливості рівності:

${\displaystyle T(a_{1},...,a_{m})T(-a_{1},...,-a_{m})=I,}$

${\displaystyle I}$ - одиничний оператор. Операторний вираз ${\displaystyle e^{A+B}}$ можна представити у вигляді

${\displaystyle e^{\int _{0}^{1}(A_{S}+B_{S})ds}=e^{\int _{0}^{1}A_{s}ds}e^{\int _{0}^{1}B_{S}ds},}$

де за допомогою ${\displaystyle s}$ здійснюється впорядкування операторних співмножників за допомогою умови ${\displaystyle A_{S}B_{S'},}$ якщо ${\displaystyle s>s',}$ та ${\displaystyle B_{S'}A_{S},}$ коли ${\displaystyle s'>s,}$ причому ${\displaystyle A_{S},B_{S'}}$ розглядаються як ${\displaystyle c}$-числа. Цей метод використовувався при розплутуванні виразу для матриці розсіяння, причому роль індексу ${\displaystyle s}$ відігравав час^[1].

Підгрупа ${\displaystyle H}$ групи Лі ${\displaystyle G}$ називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді ${\displaystyle G}$. Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду ${\displaystyle (e^{ix},e^{i\pi x})}$ у торі ${\displaystyle \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць ${\displaystyle 2\times 2}$.

Нехай ${\displaystyle H}$ — підгрупа Лі групи Лі ${\displaystyle G}$. Множину ${\displaystyle G/H}$ суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проєкція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо ${\displaystyle H}$ — нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.

Нехай ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle H}$ — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення ${\displaystyle f\colon G\to H}$, що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності ${\displaystyle f}$.) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії ${\displaystyle \operatorname {Lie} _{\mathbb {R} }}$ і ${\displaystyle \operatorname {Lie} _{\mathbb {C} }}$. Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі ${\displaystyle SO(2)}$ поворотів площини з операцією композиції і група Лі ${\displaystyle U(1)}$ комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі ${\displaystyle G}$ над полем ${\displaystyle K}$ у групу ${\displaystyle GL(V)}$ невироджених лінійних перетворень векторного простору ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ називається представленням групи ${\displaystyle G}$ у просторі ${\displaystyle V}$.

Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: G → Diff M, де Diff M — група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення a_g многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ a_g(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі N ≤ G:

g (hN) = (gh)N

Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x — стабілізатор довільної точки.

З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто

V(l_g^* f)= l_g^* (Vf) для всіх g з G, і будь-якої диференційовної функції f.

Еквівалентно

dl_g (V_x) = V_gx для всіх x, y з G.

Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням V_e в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі G_e до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому G_e є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

• Будь-яка абстрактна (дискретна топологічна) група э групою Лі по відношенню до гладкості, у якій вона є нульвимірним многовидом.
• Будь-який скінченновимірний лінійний простір є групою Лі по додаванню.
• Одинична окружність ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}:\,\,|z|=1,}$ точками якої є комплексні числа ${\displaystyle z=e^{i\theta },}$ є групою Лі по добуткові.
• Одинична сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ кватерніонів, точками якої є кватерніони ${\displaystyle {\mathfrak {q}},}$ для яких ${\displaystyle |{\mathfrak {q}}|=1.}$
• Якщо сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ є групою Лі, то необхідно ${\displaystyle n=1}$ або ${\displaystyle n=3}$, тому ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$та ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ є єдиними сферами, які припускають структуру групи Лі.
• Прямий добуток ${\displaystyle G\times H}$ топологічни (гладких) груп ${\displaystyle G,H}$ є топологічною (гладкою) групою. Зокрема, будь-який тор ${\displaystyle T^{n},\,\,n\geq 1.}$
• Групою Лі є повна лінійна група ${\displaystyle \mathrm {GL} (n),}$ а також ізоморфна їй група ${\displaystyle \mathrm {Aut} \,{\mathfrak {G}}}$ усіх автоморфізмів (невироджених лінійних операторів) довільного n-вимірного лінійного простору ${\displaystyle {\mathfrak {G}}.}$

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	n
${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$	Ненульові дійсні числа з операцією множення	Комутативність; незв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {R} }$	1
${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$	Додатні дійсні числа з операцією множення	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {R} }$	1
${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$	Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення	Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність	${\displaystyle \mathbb {R} }$	1
${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$	Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n	незв'язність, некомпактність	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$	n²
${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$	Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником	Однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$	n²
${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$	Спеціальна лінійна група: Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозвязність, некомпактність для n > 1	${\displaystyle sl(n,\mathbb {R} )}$	n²-1
${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$	Ортогональна група: Ортогональні дійсні матриці	Незв'язність, компактність	${\displaystyle so(n,\mathbb {R} )}$	n(n — 1)/2

Розмірність подано в ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$	n
${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$	Ненульові комплексні числа з операцією множення	Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {C} }$	1
${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$	Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n	Однозвязність, некомпактність;	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$	n²
${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$	Спеціальна лінійна група: комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, некомпактність для n≥2	${\displaystyle sl(n,\mathbb {C} )}$	(n²-1)
${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$	Ортогональна група: Ортогональні комплексні матриці	Незв'язність, некомпактність для n≥2	${\displaystyle so(n,\mathbb {C} )}$	n(n-1)
${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$	Спеціальна ортогональна група: комплексні ортогональні матриці з визначником 1	Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2	${\displaystyle so(n,\mathbb {C} )}$	n(n-1)
${\displaystyle U\left(n\right)}$	Унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n	Неоднозв'язність, компактність;	${\displaystyle u\left(n\right)}$	n²
${\displaystyle SU\left(n\right)}$	Спеціальна унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, компактність	${\displaystyle su\left(n\right)}$	n²-1

• Алгебра Лі
• Алгебрична група
• Компактна група Лі
• Лінійна алгебрична група

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М. : Мир, 1976. — С. 596. — (Елементи математики)(рос.)
• Софус Лі. Теория групп преобразований. — Ижевск : РХД, 2011-2012. — 712+640 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
• Helgason Sigurdur (1978), «Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces», Academic Press,
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
• P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations

1. ↑ Г.А.Соколик - Групповые методы в теории элементарных частиц.