Відносна правдоподібність

Припустімо, що в статистиці нам було надано деякі дані, й ми будуємо статистичну модель цих даних. Відно́сна правдоподі́бність (англ. relative likelihood) порівнює відносні вірогідності (англ. plausibilities) різних моделей-кандидатів, або різних значень параметра єдиної моделі.

Припустімо, що нам надано деякі дані x, для яких ми маємо статистичну модель із параметром θ. Припустімо, що оцінкою θ методом максимальної правдоподібності є ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$. Відносні вірогідності інших значень θ може бути знайдено порівнюванням правдоподібностей цих інших значень із правдоподібністю ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$. Відносну правдоподібність θ означують як^{[1][2][3][4][5]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta \mid x)/{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)}$

де ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta \mid x)}$ позначує функцію правдоподібності. Таким чином, відносна правдоподібність є відношенням правдоподібностей з незмінним знаменником ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)}$.

Функція

${\displaystyle \theta \mapsto {\mathcal {L}}(\theta \mid x)/{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)}$

є функцією відносної правдоподібності (англ. relative likelihood function).

О́бласть правдоподі́́́бності (англ. likelihood region) — це множина всіх значень θ, чиї відносні правдоподібності є більшими або рівними заданому порогові. В термінах відсотків, p%-ву область правдоподібності для θ означують як^[1][3][6]

${\displaystyle \left\{\theta :{\frac {{\mathcal {L}}(\theta \mid x)}{{\mathcal {L}}({\hat {\theta \,}}\mid x)}}\geq {\frac {p}{100}}\right\}.}$

Якщо θ є єдиним дійснозначним параметром, то p%-ва область правдоподібності зазвичай становить проміжок дійсних значень. Якщо ця область дійсно становить проміжок, то її називають про́міжком правдоподі́бності (англ. likelihood interval).^[1][3][7]

Проміжки правдоподібності, та, загальніше, області правдоподібності використовують для проміжкового оцінювання^[en] в правдоподібницькій статистиці: вони є подібними до довірчих проміжків у частотницькій статистиці та ймовірних проміжків у баєсовій статистиці. Проміжки правдоподібності тлумачать безпосередньо в термінах відносної правдоподібності, а не в термінах ймовірності накриття^[en] (частотництво) чи апостеріорної ймовірності (баєсівство).

Для заданої моделі проміжки правдоподібності можливо порівнювати з довірчими проміжками. Якщо θ є єдиним дійснозначним параметром, то, за певних умов 14.65%-й проміжок правдоподібності (правдоподібність близько 1:7) для θ буде таким же, як і 95%-й довірчий проміжок (ймовірність накриття 19/20).^[1][6] У дещо відмінному формулюванні, пристосованому для використання логарифмічних правдоподібностей (див. теорему Уілкса), перевірна статистика є подвоєною різницею логарифмічних правдоподібностей, а розподіл імовірності цієї перевірної статистики приблизно є розподілом хі-квадрат зі ступенями вільності, що дорівнюють різниці в ступенях вільності між цими двома моделями (тому проміжок правдоподібності e⁻² є таким же, як і довірчий проміжок 0.954, за припущення, що різницею в ступенях вільності є 1).^[6][7]

Означення відносної правдоподібності може бути узагальнено для порівнювання різних статистичних моделей. Це узагальнення ґрунтується на ІКА (інформаційному критерієві Акаіке, англ. AIC), або іноді на ІКАк (інформаційному критерієві Акаіке з коригуванням, англ. AICc).

Припустімо, що для деяких наданих даних ми маємо дві статистичні моделі, M₁ та M₂. Також припустімо, що AIC(M₁ ) ≤ AIC(M₂ ). Тоді відносну правдоподібність M₂ по відношенню до M₁ означують наступним чином:^[8]

${\displaystyle \exp \left({\frac {\operatorname {AIC} (M_{1})-\operatorname {AIC} (M_{2})}{2}}\right)}$

Щоби побачити, що це є узагальненням ранішого означення, припустімо, що ми маємо деяку модель M із (можливо, багатомірним) параметром θ. Тоді для будь-якого θ встановімо M₂ = M(θ), а також встановімо M₁ = M(${\displaystyle {\hat {\theta }}}$). Це загальне означення тепер дає той самий результат, що й раніше означення.

• Функція правдоподібності
• Обирання моделі
• Визначення статистичної моделі^[en]
• Затверджування статистичної моделі