Восьмивимірні гіперкомплексні числа

Восьмивимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з сімома уявними одиницями.

Як чотириви��ірні гіперкомплексні числа були визначені через двовимірні:

1. введеням додаткової уявної одиниці ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$: ${\displaystyle \ (a+bi)+(c+di){\boldsymbol {j}}}$ та
2. прийняття добутків різних уявних одиниць новими уявними одиницями: ${\displaystyle ij=k}$.

Так і восьмивимірні можна задати рекурсивно через чотиривимірні:

1. введеням додаткової уявної одиниці ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$: ${\displaystyle \ (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k){\boldsymbol {\ell }}}$,
2. прийняття невідомих добутків ${\displaystyle il,jl,kl}$ новими уявними одиницями (якщо домножити ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ зліва, то добутки будуть ${\displaystyle li,lj,lk}$).

Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

${\displaystyle z\cdot z^{2}=z^{2}\cdot z}$

${\displaystyle z^{2}=(a+I)(a+I)=(a^{2}+2aI)+I^{2}}$

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для уявної частини ${\displaystyle I}$.

Другого легко досягти якщо:

1. квадрати уявних одиниць є дійсними числами;
2. добутки уявних одиниць антикомутують.

Використавши також одну зі слабких форм асоціативності — альтернативність, заповнимо таблицю множення:

• Верхня ліва четверть заповнюється ${\displaystyle \{\ \pm ,\ 1,\ i,\ j,\ k\}}$ згідно з однією із чотиривимірних гіперкомплексних систем (показано кватерніон).
• Верхня права четверть заповнюється:
  • зелене — новими одиницями ${\displaystyle il,jl,kl}$, які є однойменними добутками;
  • жовте — значеннями ${\displaystyle -\ell }$, які отримуються з властивості альтернативності, знаки співпадають з головною діагоналлю;
  • червоне — добуток ${\displaystyle i\cdot jl=-kl}$, який визначимо одним із правил Муфанга(інші мови) ${\displaystyle g(hu)=(hg)u}$, щоб точно втратити асоціативність (але зберегти альтернативність);
  • всі інші — обчислюємо використовуючи альтернативність.

${\displaystyle i\cdot kl=jl}$

${\displaystyle il=k\cdot jl}$

${\displaystyle j\cdot il=kl}$

• Нижня ліва четверть заповнюється використовуючи альтернативність. Вона буде транспонованою верхньою правою, або буде протилежного знаку, окрім діагоналі.
• Нижня права четверть заповнюється використовуючи альтернативність. Вона буде складатись із ${\displaystyle \{\ \pm ,\ 1,\ i,\ j,\ k\}}$.

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)