Індикатриса Дюпена

Індикатриса Дюпена або індикатриса кривини — плоска крива на дотичній площині до поверхні, яка дає наочне уявлення про викривлення поверхні в даній її точці. Індикатриса Дюпена названа на честь французького математика Шарля Дюпена, що вперше застосував її до дослідження поверхонь у 1813 році.

Індикатриса Дюпена лежить у площині, дотичній до поверхні ${\displaystyle S}$ в точці ${\displaystyle p}$, і є сукупністю кінців відрізків, відкладених від точки ${\displaystyle p}$ в напрямку ${\displaystyle u}$ в дотичній площині, що мають довжину, рівну ${\displaystyle 1/{\sqrt {\kappa _{u}}}}$, де ${\displaystyle \kappa _{u}}$ — абсолютна величина нормальної кривини поверхні ${\displaystyle S}$ в точці ${\displaystyle p}$ в напрямку ${\displaystyle u}$.

Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд

${\displaystyle II_{p}(v)=(d_{p}Nv,v)=\pm 1,}$

де ${\displaystyle v}$ — вектор дотичної площини, ${\displaystyle II_{p}}$ — друга фундаментальна форма поверхні ${\displaystyle S}$, в точці ${\displaystyle p,}$ а ${\displaystyle d_{p}N}$ — відображення Вейнгартена.

Позначивши ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ — головні напрямки кривини, тобто власні вектори відображення Вейнгартена (вони є ортогональними і утворюють базис дотичної площини), якщо ${\displaystyle v=\eta e_{1}+\theta e_{2}}$ рівняння індикатриси можна записати як:

${\displaystyle II_{p}(v)=k_{1}\eta ^{2}+k_{2}\theta ^{2}=\pm 1,}$

тобто індикатриса Дюпена є об'єднанням конік.

Індикатриса Дюпена є граничним випадком перетину поверхні із площинами паралельними дотичній площині у точці, що наближаються до даної площини при певній нормалізації. А саме введемо систему координат початок якої є у даній точці і x, y відкладено по головних напрямках дотичної площини, а z у напрямку додатної нормалі до точки. Тоді в деякому околі точки поверхня задається як ${\displaystyle z=h(x,y)}$ для деякої диференційовної функції h. Із формули Тейлора і властивостей головних кривин для такої системи координат можна отримати, що ${\displaystyle h(x,y)={\frac {1}{2}}(k_{1}x^{2}+k_{2}y^{2})+R,}$ де ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {R}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$ Розглянувши перетин поверхні у таких координатах із площиною ${\displaystyle z=\varepsilon }$ для достатньо малого ${\displaystyle \varepsilon }$ отримаємо рівняння кривої ${\displaystyle k_{1}x^{2}+k_{2}y^{2}+2R=2\varepsilon .}$ Використавши заміну змінних ${\displaystyle x={\bar {x}}{\sqrt {2\varepsilon }},\;y={\bar {y}}{\sqrt {2\varepsilon }}}$ це рівняння перепишеться ${\displaystyle k_{1}{\bar {x}}^{2}+k_{2}{\bar {y}}^{2}+2{\bar {R}}=1,}$ до того ж ${\displaystyle {\bar {R}}}$ прямуватиме до нуля при прямуванні ${\displaystyle \varepsilon }$ до нуля тобто крива у відповідних координатах наближатиметься до індикатриси Дюпена.

Вигляд індикатриси Дюпена залежить від типу точки. Також вона дозволяє визначити асимптотичні напрямки у точці поверхні і спряжені напрямки (тобто напрямки задані векторами ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ для яких ${\displaystyle (d_{p}Nv_{1},v_{2})=(v_{1},d_{p}Nv_{2})=0)}$:

• Якщо ${\displaystyle p}$ — еліптична точка поверхні, тобто гаусова кривина є додатною то головні кривини мають однаковий знак і індикатриса Дюпена є еліпсом, напрямок головної і малої осі якого задаються головними напрямками в точці поверхні.

Зокрема якщо ${\displaystyle p}$ є непланарною точкою округлення то індикатриса Дюпена є колом.

Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб.

• Якщо ${\displaystyle p}$ — гіперболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина є від'ємною, то індикатриса Дюпена є парою пов'язаних гіпербол із спільною парою асимптотичних ліній. Ці лінії задають асимптотичні напрямки у точці поверхні.

Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб за винятком двох асимптотичних напрямків, кожен із яких є спряженим сам із собою.

• Якщо ${\displaystyle p}$ — параболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина дорівнює нулю, але середня кривина не дорівнює нулю, то індикатриса Дюпена є парою паралельних прямих, спільний напрямок яких є асимптотичним напрямком у точці поверхні.

• Гіпербола
• Друга квадратична форма
• Еліпс
• Кривина (математика)

• Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків: Основа, 1995 . — с. 41-46
• Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. [Архівовано 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]  — К.: Київський університет, 2004. — 68 с.
• Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
• Weatherburn, C.E. (1955). Differential Geometry of Three Dimensions. Cambridge University Press.