Matris (matematika)

Sa matematika, ang matris o baskagan (Ingles: matrix) ay isang hugis-parihaba na taltag^[1] ng mga bilang, mga simbolo, o mga ekspresyon, na nakaayos sa mga hilera at tudling.^[2][3] Halimbawa, ang sukat ng baskagan sa ibaba ay 2 × 3 (binabasa na "dalawa sa tatlo"), dahil may dalawang hanay at tatlong tudling:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.}$

Basta mayroon silang parehong sukat (katumbas ang bilang ng mga hilera at ang parehong bilang ng mga tudling ng bawat baskagan), maaaring idagdag o ibawas ang bawat elemento ng dalawang baskagan (tingnan ang Talimahing baskagan). Gayunpaman, ang panuntunan ng multiplikasyon ng baskagan ay ang dalawang baskagan ay maaaring multiplikahin lamang kapag katumbas ang bilang ng mga tudling sa unang baskagan sa bilang ng mga hilera sa ikalawa (ibig sabihin: pareho ang mga panloob na sukat, n para sa isang baskagang (m×n) na pinarami ng isang baskagang (n×p), na nagreresulta sa isang baskagang (m×p). Walang produkto kapag binaligtad ang mga baskagan, na unang nagpapahiwatig na hindi napagpabaling-baling ang multiplikasyon ng baskagan. Maaaring multiplikahin ang anumang baskagan ayon sa elemento ng isang bilangin mula sa nauugnay na patlang.

Ang indibidwal na mga aytem sa isang baskagang A na m×n, kadalasang itinala gamit ang a_i,j, kung saan karaniwang nag-iiba ang i at j mula sa 1 hanggang m at n, ayon sa pagkakabanggit, ay tinatawag na mga elemento o mga tala nito.^[4] Para sa madaling pagpapahayag ng isang elemento ng mga resulta ng mga sakilos ng baskagan kadalasang nakalakip ang mga indeks ng elemento sa napanaklong o natungang ekspresyon ng baskagan; halimbawa: tumutukoy ang (AB)_{i, j} sa isang elemento ng produkto ng baskagan. Sa konteksto ng abstraktong notasyon ng indeks hindi tiyak na tumutukoy din ito sa buong produkto ng baskagan.

Ang isang malaking aplikasyon ng mga baskagan ay ang pagkakatawan sa mga transpormasyong linyar, na ang mga heneralisasyon ng mga punsiyong linyar tulad ng f(x) = 4x. Halimbawa, isang transpormasyong linyar ang pag-ikot ng mga tugano sa tatlong dimensiyonal na puwang, na maaaring katawanin ng isang baskagang pag-ikot R: kung v ay isang tuganong tudling (isang baskagan na may isang tudling lamang) na naglalarawan sa posisyon ng isang punto sa lugar, ang produktong Rv ay isang tudling ng tugano na naglalarawan sa posisyon ng puntong iyon pagkatapos ng isang pag-ikot. Ang produkto ng dalawang baskagang pagbabagong-anyo ay isang baskagan na kumakatawan sa kumposisyon ng dalawang transpormasyon. Ang isa pang aplikasyon ng baskagan ay nasa paglutas ng mga sistema ng mga ekwasyong linyar. Kung parisukat ang baskagan, posible na mahulaan ang ilan sa mga katangian nito sa pamamagitan ng pagtutuos ng taliyak (Ingles: determinant) nito. Halimbawa, may kabaligtaran lamang ang isang baskagang parisukat kung at tanging kung hindi sero ang taliyak nito. Maaaring makuha ang kabatiran sa heometriya ng isang transpormasyong linyar (kasama ang iba pang impormasyon) mula sa mga eigenhalaga at eigentugano.

Matatagpuan ang mga pagpapairal ng baskagan sa karamihan ng mga larangang pang-agham. Sa bawat sangay ng pisika, kabilang ang mga klasikong mekaniks, optika, elektromagnetismo, mekaniks na kwantum, at elektrodinamikang kwantum, ginagamit ito upang pag-aralan ang mga pisikal na kababalaghan, tulad ng paggalaw ng matibay na katawan. Sa grapikong kompyuter, ginagamit ang mga ito upang manipulahin ang mga modelong 3D at ibahagi ang mga ito sa isang 2-dimensiyonal na screen. Sa teoyrang probabilidad at mga estadistika, ginagamit ang mga stokastikong baskagan upang ilarawan ang mga pangkat ng mga probabilidad; halimbawa, ginagamit ang mga ito sa loob ng algoritmo ng PageRank na nagraranggo ng mga pahina sa isang paghanap sa Google.^[5] Hinehenralisa ng baskagang calculus ang mga klasiko't analytikong notasyon tulad ng deribatibo at eksponente sa mga mas mataas na dimensiyon. Ginagamit ang mga baskagan sa ekonomika upang ilarawan ang mga sistema ng mga relasyon sa ekonomiya.

Nakatuon ang isang pangunahing sangay ng numerikal na analisis sa pagpapaunlad ng mahusay na mga algoritmo para sa mga pagtutuos ng baskagan, isang paksa na ilan daantaong-gulang at ngayon ay isang lumalawak na larangan ng pananaliksik. Pinapadali ng ga pamamaraang agnas ng baskagan ang mga pagtutuos, pareho sa aspektong teorya at praktikal. Pinapabilis ng mga pinasadyang algoritmo sa mga partikular na istraktura ng baskagan, tulad ng baskagang kalat-kalat at mala-hilising baskagan, ang pagtutuos sa paraan ng hangganing elemento at iba pang mga pagtutuos. Nagkakaroon ng mga anwangganing baskagan sa teoryang buntalain at sa teoryang atomiko. Ang isang simpleng halimbawa ng anwanggaing baskagan ay ang baskagan na kumakatawan sa deribatibong pakilos, na kumikilos sa seryeng Taylor ng isang punsiyon.

Ang isang baskagan ay isang hugis-parihaba na taltag ng mga bilang o iba pang mga matematikang bagay kung saan tinukoyang mga sakilos tulad ng pagdaragdag at pagpaparami.^[6] Kadalasan, ang isang baskagan na nasa isang larangang F ay isang hugis-parihaba na pangkat ng mga bilangin kung saan miyembro ng F ang bawat isa.^[7][8] Nakatutok ang karamihan ng artikulong ito sa tunay at hugnay na baskagan, iyon ay, mga baskagan na may mga elementong tunay na bilang o hugnay-bilang, ayon sa pagkakabanggit. Tinatalakay ang mga iba pang mga pangkalahatang uri ng mga tala sa ibaba. Halimbawa, ito ay isang baskagang tunay:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\\\end{bmatrix}}.}$

Tinatawag ang mga bilang, mga simbolo o mga ekspresyon sa baskagan na mga tala nito o mga elemento nito. Tinatawag ang pahalang at patayo na mga linya ng mga talaan sa isang matrix na mga hilera at tudling, ayon sa pagkakabanggit.

Tinutukoy ang sukat ng isang baskagan sa pamamagitan ng bilang ng mga nilalamang hilera at tudling nito. Ang isang baskagan na may m hilera at n tudling ay tinatawag na ng baskagang m × n, kung saan tinatawag na kanyang sukat ang m at n. Halimbawa, isang baskagang 3 × 2 ang baskagang A sa itaas.

Tinatawag na mga tuganong hilera ang mga baskagang na may solong hilera, at tinatawag na mga tuganong tudling ang mga may solong tudling. Tinatawag na baskagang parisukat ang isang baskagan na may parehong bilang ng mga hilera at tudling. Tinatawag na awangganing baskagan ang isang baskagan na may walang katapusang bilang ng mga hilera o tudling (o ang dalawa). Sa ilang mga konteksto, tulad ng mga programang alhebra sa kompyuter, mahalaga na isaalang-alang ang isang baskagan na walang mga hilera o walang mga tudling, na tinatawag na baskagang hungkag.

Pangalan	Sukat	Halimbawa	Paglalarawan
Tuganong hilera	1 × n	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}$	Baskagan na may isang hilera, na ginagamit minsan upang kumatawan sa isang tugano
Tuganong tudling	n × 1	${\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}$	Baskagan na may isang tudling, na ginagamit minsan upang kumatawan sa isang tugano
Baskagang parisukat	n × n	${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}$	Baskagan kung saan magkapareho ang bilang ng mga hilera at haligi, na ginagamit minsan upang kumatawan sa isang transpormasyong linyar mula sa isang tuganong kalawakan papunta sa sarili nito, tulad ng aninag, pag-ikot, o paggugupit.

Kadalasang nakasulat ang mga baskagan sa mga kahon na panalikop o panaklong:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.}$

Iba-iba ang mga hambingin ng notasyon ng simbolikong baskagan, na may ilang mga kalakaran. Karaniwang sinasagisag ang mga baskagan gamit ang mga malaking titik (tulad ng A sa mga halimbawa sa itaas), habang kumakatawan ang katumbas na mga maliit na titik, na may dalawang subskribong indeks (halimbawa, a₁₁, o a_1,1), sa mga tala. Bilang karagdagan sa paggamit ng mga malaking titik bilang sagisag ng mga baskagan, maraming mga may-akda na gumagamit ng espesyal na uri ng tipograpikong estilo, karaniwang naka-boldface na tuwid (di-italic), upang higit pang ibukod ang mga baskagan mula sa iba pang mga bagay sa matematika. Nagsasangkot ng isang alternatibong notasyon sa paggamit ng isang dobleng salungguhit na may pangalan ng aligin, na mayroon o walang estilong boldface.

Tinutukoy minsan ang tala sa ika-i hilera at ika-j tudling ng isang baskagang A bilang ang i,j, (i,j), o ika-(i,j) tala ng baskagan, at pinakakaraniwang naitala bilang a_i,j, o a_ij. A[i,j] o A_i,j ang mga alternatibong notasyon para sa tala na iyon. Halimbawa, ang talang (1,3) ng sumusunod na baskagang A ay 5 (na tinutukoy din bilang a₁₃, a_1,3, A[1,3] o A_1,3):

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}$

Minsan, maaaring tukuyin ang mga tala ng isang baskagan ng isang formula tulad ng a_i,j = f(i, j). Halimbawa, tinutukoy ang bawat isang talaan ng sumusunod na baskagang A ng a_ij = i − j.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

Sa kasong ito, paminsan-minsang tinutukoy ang baskagan mismo ng pormula na iyon, sa loob ng parisukat na mga panalikop o dobleng panaklong. Halimbawa, tinutukoy ang baskagan sa itaas bilang A = [i-j], o A = ((i-j)). Kung m × n ang laki ng matrix, may bisa ang formula na nabanggit sa itaas f(i, j) para sa anumang i = 1, ..., m at anumang j = 1, ..., n. Maaaring tukuyin ito na hiwalay, o gamit ang m × n bilang subskribo. Halimbawa, 3 × 4 ang baskagang A sa itaas at maaaring tukuyin bilang A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4), o A = [i − j]_3×4.

Gumagamit ang ilang mga wikang pamprograma ng dobleng subskribong taltag (o taltag ng taltag) upang kumatawan sa isang baskagang m-×-n. Nagsisimula ang ilang mga wikang pamprograma sa pagbilang ng mga indeks ng taltag sa sero, kung saan ang mga tala ng isang m-×-n matrix ay naindeks ng 0 ≤ i ≤ m − 1 at 0 ≤ j ≤ n − 1.^[9] Sinusunod ng artikulong ito ang mas karaniwang kombensyon sa matematika na pagsusulat kung saan nagsisimula sa 1 ang pagsulat.

Paminsan-minsan na ginagamit ang asterisko upang tumukoy sa buong hilera o tudling sa isang baskagan. Halimbawa, tumutukoy ang a_i,* sa ika-i hilera ng A, at tumutukoy ang a_*,j sa ika-j tudling ng A. Tinutukoy ang pangkat ng lahat ng baskagang m-×-n bilang 𝕄(m, n).

Iilan ang mga basikong sakilos na maaaring gamitin upang baguhin ang mga baskagan, na tinatawag na pagdaragdag ng baskagan, bilanging pagpaparami, paglilipat, pagpaparami ng baskagan, mga sakilos ng hilera, at kubaskagan.^[10]

Sakilos	Kahulugan	Halimbawa
Pagdaragdag ng baskagan	Ang kabuuang A+B ng dalawang baskagang m-na-n A at B ay kinakalkula ayon sa tala: (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, kung saan 1 ≤ i ≤ m at 1 ≤ j ≤ n.	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}$
Bilanging Pagpaparami	Ang produktong cA ng isang bilang c (na tinatawagang bilangin sa pananalita sa walang-anyong alhebra) at isang baskagang A ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat tala ng A sa c: (cA)i,j = c · Ai,j. Bilanging pagpaparami ang tawag sa sakilos na ito, pero hindi pinapangalan ang kanyang resulta na "bilanging produkto" para maiwasan ang pagkalito, dahil ginagamit minsan ang "bilanging produkto" bilang kasingkahulugan ng "produktong panloob".	${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$
Paglilipat	Ang lipat of an m-na-n na baskagang A ay ang nabuong n-na-m na baskagang AT (na tinutukoy rin bilang Atr or tA) sa pamamagitan ng paglipat ng hilera sa tudling at bisebersa: (AT)i,j = Aj,i.	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$

Naaangkop din ang mga pamilyar na katangian ng mga bilang sa mga sakilos na ito ng mga baskagan: halimbawa, palitin ang pagdaragdag, iyon ay, hindi nakasalalay ang kabuuan ng baskagan sa pagkakasunud-sunod ng mga sinuma: A + B = B + A.^[11] Magkabagang ang lipat sa pagdaragdag at bilangnging pagpaparami, tulad ng ipinahayag ng (cA)^T = c(A^T) at (A + B)^T = A^T + B^T. Sa wakas, (A^T)^T = A.

Depinido lamang ang pagpaparami ng dalawang baskagan kung at tanging kung magkapareho ang bilang ng mga tudling ng kaliwang baskagan at ang bilang ng mga hilera ng kanang baskagan. Kung baskagang m-na-n ang A at baskagang n-na-p ang B, ang kanilang produktong baskagang AB ay ang baskagang m-na-p kung saan ibinigay ang mga tala ng produktong tuldok ng kaukulang hilera ng A at ang kaukulang tudling ng B:

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},}$

kung saan 1 ≤ i ≤ m at 1 ≤ j ≤ p.^[12] Halimbawa, kinakalkula ang nakasaad na tala na 2340 sa produkto bilang (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Pasok ang pagpaparami ng baskagan sa mga patakarang (AB)C = A(BC) (asosyatibidad), at (A + B)C = AC + BC pati na rin ang C(A + B) = CA + CB (kaliwa at kanang distributibidad), kung depinido ang iba't ibang mga produkto dahil sa laki ng mga baskagan.^[13] Maaaring depinido ang produktong AB nang walang BA na depinido, katulad kung A at B ay m-na-n at n-na-k matrices, ayon sa pagkakabanggit, at m ≠ k. Kahit na depinido ang dalawang produkto, hindi nila kailangang maging pantay, sa pangkalahatan

AB ≠ BA,

iyon ay, hindi komutatibo ang pagpaparami ng baskagan, sa minarkahang kaibahan sa mga (makatwiran, tunay, o hugnayan) na mga bilang na hindi nakabatay ang produkto sa pagkakasunud-sunod ng mga salik. Ang isang halimbawa ng dalawang baskagan na hindi komutatibo sa bawat isa ay:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},}$

samantalang

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$

Bukod sa kakalarawan lang na ordinaryong pagpaparami ng baskagan, mayroong iba pang hindi gaanong ginagamit na mga sakilos sa mga baskagan na maaaring isaalang-alang bilang paraan ng pagpaparami, tulad ng produktong Hadamard at produkto ng Kronecker.^[14] Lumilitaw sila sa paglutas ng mga ekwasyon ng baskagan tulad ng ekwasyong Sylvester.

May tatlong uri ng mga sakilos ng hilera:

1. pagdaragdag ng hilera, kung saan nagdaragdag ng isang hilera sa isa pa;
2. pagpaparami ng hilera, kung saan nagpaparami ng lahat ng mga tala ng isang hilera ng isang di-serong konstante;
3. pagpalit ng hilera, kung saan nagpapalitan ng dalawang hanay ng isang baskagan;

Ginagamit ang mga sakilos na ito sa maraming paraan, kabilang ang paglutas ng mga ekwasyong linyar at paghahanap ng mga kabaligtaran ng baskagan.

Ang isang kubaskagan ng baskagan ay nakukuha sa pamamagitan ng pagtatanggal ng anumang koleksyon ng mga hilera at/o mga tudling.^[15][16][17] Halimbawa, mula sa sumusunod na baskagang 3-na-4, maaaring bumuo ng isang kubaskagang 2-na-3 sa pamamagitan ng pag-alis ng ika-3 hilera at ng ika-2 tudling:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.}$

Nahahanap ang mga kalitan at kakabuo ng isang baskagan sa pamamagitan ng pagkalkula ng taliyak ng ilang mga kubaskagan.^[18][19]

Ang punong kubaskagan ay isang kubaskagang parisukat na nagmumula kapag tinanggal ang ilang mga hilera at mga tudling. Naiiba ang kahulugan ayon sa may-akda. Batay sa ilang mga may-akda, ang punong kubaskagan ay isang kubaskagan kung saan nananatiling pareho ang hanay ng mga hilerang indeks sa hanay ng mga mananatiling tudling na indeks.^[20][21] Dinedepinihin ng iba pang mga may-akda ang punong kubaskagan bilang isa kung saan ang mga unang k hilera at haligi, para sa ilang bilang k, ay ang mga nananatili;^[22] tinatawag din ang ganitong uri ng kubaskagan na isang nangungunang punong kubaskagan.^[23]

Maaaring gamitin ang mga baskagan upang sulatin nang masinsin at pagaanin ang maramihang ekwasyong linyar, iyon ay, mga sistema ng mga ekwasyong linyar. Halimbawa, kung isang baskagang m-na-n ang A, nagtatalaga ang x ng isang tuganong tudling (iyon ay, baskagang n×1) ng n aliging x_1, x_2, ..., x_n, at isang tugagnong tudling na m×1 ang b, ang matris equation ay

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

na katumbas ng sistema ng mga ekwasyong linyar^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}}$

Sa paggamit ng mga baskagan, maaaring lutasin ito nang mas masinsin kaysa sa magiging posible kung sinulat nang hiwalay ang lahat ng mga ekwasyon. Kung n = m at sarilinin ang mga ekwasyon, maaari itong gawin sa pamamagitan ng pagsulat ng

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$

kung saan A⁻¹ ang kabaligtarang baskagan ng A. Kung walang kabaligtaran ang A, maaaring hanapin ang mga solusyon kung ang mayroon gamit ang lahatang kabaligtaran.

Ipinapakita ng mga baskagan at pagpaparami ng bakskagan ng kanilang mahahalagang tampok kapag may kaugnayan sa transpormasyong linyar, na kilala rin bilang mga mapang linyar. Binubuo ng m-na-n na baskagang tunay na A ang transpormasyong linyar Rⁿ → R^m na nagmamapa sa bawat tuganong x sa Rⁿ sa (baskagan) na produkto Ax, na isang tugano sa R^m. Sa kabaligtaran, nagmumula ang bawat transpormasyong linyar f: Rⁿ → R^m mula sa isang natatanging m-na-n na baskagang A: kung magiging espesipiko, ang talang ika-(i, j) ng A ay ang ika-i na tugmaang pampook (Ingles: coordinate) ng f(e_j), kung saan ej = (0,..., 0,1,0,..., 0) ang tuganong yunit na may 1 sa ika-j posisyon at 0 sa ibang lugar. Sinasabi na kumakatawan ang baskagang A sa mapang linyar f, at tinatawag ang A na baskagan ng transpormasyon ng f

Halimbawa, ang baskagang 2×2

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}$

ay maaaring matingnan bilang pagbabagong-anyo ng yunit na parisukat sa isang paralelogram na may mga bagtasan (Ingles: vertices) sa (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), at (c, d). Nakuha ang paralelogram na nakalarawan sa kanan sa pamamagitan ng pagpaparami ng A sa bawat isa sa mga tugano ng tudling${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ at ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ paturno-turno. Tinutukoy ng mga tugano ang mga bagtasan ng yunit na parisukat.

Ipinapakita ng sumusunod na talahanayan ang bilang ng mga baskagang 2-na-2 na may kaugnay na mapang linyar ng R². Naisamapa ang bughaw na orihinal sa luntiang grid at mga hugis. Minarkahan ang pinagmulan (0,0) ng itim na punto.

Pahalang na shear na may m = 1.25.	Aninag sa pamamagitan ng vertical axis	Pisiling pagmamapa sa r = 3/2	Pag-iskala sa pamamagitan ng isang kabuong 3/2	Inog ng π/6 = 30°
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}}}$

Sa ilalim ng 1-sa-1 na kaisahan ng mga baskagan at mapang linyar, tumutugma ang pagpaparami ng baskagan sa komposisyon ng mga mapa:^[25] kung kumakatawan ang isang k-na-m na baskagang B sa isa pang mapang linyar g: R^m → R^k, kinakatawan ang komposisyon g ∘ f ng BA dahil

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Sumusunod ang huling katumbasan mula sa nabanggit na asosyatibidad ng pagpaparami ng baskagan.

Ang ranggo ng baskagang A ay ang pinakamataas na bilang ng mga sarilining linyar na tuganong hilera ng baskagan, na may katumbas na pinakamataas na bilang ng mga sarilining linyar na hanay ng mga tugano.^[26] Ito rin ang dimensiyon ng imahe ng mapang linyar na kinakatawan ng A.^[27] Binanggit ng teoryang ranggo-utilidad na magkatumbas ang dimensiyon ng kernel ng isang baskagan dagdag sa ranggo at ang bilang ng mga tudling ng baskagan.^[28]

Ang baskagang parisukat ay isang baskagan na may parehong bilang ng mga hilera at tudling. Kilala ang baskagang n-na-n bilang baskagang parisukat ng sunurang n. Maaaring idagdag at paramihin ang anumang dalawang baskagang parisukat na may magkatumbas na sunuran. Bumubuo ang mga talaang a_ii ng pangunahing hilis ng isang baskagang pariskuat. Sila ay nasa guning linya na dumadangkal mula sa itaas na kaliwang sulok hanggang sa ibabang kanang sulok ng baskagan.

Pangalan	Halimbawa na n = 3
Hilising baskagan	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
Pang-ibabang tatsihaing baskagan	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
Pang-itaas na tatsihaing baskagan	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

Kung sero ang lahat ng mga talaan ng A sa ibaba ang pangunahing hilisin, tinatawag na pang-itaas na tatsihang baskagan ang A. Katulad nito kung sero ang lahat ng mga talaan ng A sa itaas ng pangunahing hisilin, tinatawag ang A na pang-ibabang tatsihang baskagan. Kung sero ang lahat ng mga talaan sa labas ng pangunahing hilisan, tinatawag ang A na hilising baskagan.

Ang kasiyangyaang baskagan I_n ng laking n ay ang baskagang n-na-n kung saan 1 ang lahat ng mga talaan sa pangunahing hilisin at 0 ang lahat ng iba pang mga talaan, halimbawa,

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Ito ay isang baskagang parisukat ng sunurang n, at isang espesyal na uri ng hilising baskagan. Tinatawag ito na kasiyangyaang baskagan dahil hindi nababago ang baksagan kapag pinaparami ito:

AIn = ImA = A para sa anumang m-na-n na baskagang A.

Ang di-serong bilanging maramihan ng isang kasiyangyaang baskagan ay tinatawag na bilanging baskagan. Kung nagmula ang mga talaan sa baskagan sa isang larangin, bumubuo ang bilanging baskagan ng isang grupo, sa ilalim ng pagpaparami ng baskagan, na isomorpiko sa paramihing grupo ng mga elementong di-sero ng larangan.

Ang baskagang parisukat na A na katumbas ng lipat nito, ibig sabihin na A = A^T, ay isang parianyuing baskagan. Kung sa halip nito, katumbas ang A sa negatibo ng lipat nito, ibig sabihin na A = −A^T, at isang skew-parianyuing baskagan ang A. Sa baskagang hugnay, kadalasang pinapalitan ang parianyo ng konsepto ng baskagang Hermityano, na tumutupad sa A^* = A, kung saan tumutukoy ang bituin o asterisko sa katapatang lipat ng baskagan, iyon ay, ang lipat ng katapatang hugnay ng A.

Ayon sa hunaing ispektral, may eigenbase ang mga tunay na baskagang parianyuin at hugnay na baskagang Hermityano; iyon ay, maaaring ipahiwatig ang bawat tugano bilang isang kumbinasyong linyar ng mga eigentugano. Sa dalawang kalagayang iyon, tunay ang lahat ng mga eigenhalaga.^[29] Maaaring heneralisahin ang hunaing ito sa mga sitwasyong dimensiyong awangganin na may kinalaman sa mga baskagan na may awangganing hilera at tudling, tingnan sa ibaba.

Ang isang baskagang parisukat na A ay tinatawag na mababaligtad o di-isahan kung may isang baskagang B tulad na

AB = BA = I_n, ^[30][31]

kung saan I_n ang n×n na kasiyangyaang baskagan na may mga isa sa pangunahing hilising at mga sero sa ibang lugar. Kung may B, natatangi ito at tinatawag na kabaligtarang baskagan ng A, na sinusulat na A^-1.

Positibong tiyak na baskagan	Di-tiyak na baskagan
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$
Q(x, y) = 1/4 x2 + y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Mga puntos kung saan Q(x,y) = 1 (Elipso).	Mga puntos kung saan Q(x,y) = 1 (Hiperbola).

Tinatawag na positibong tiyak ang isang parianyuin at n×n na baskagang A kung ang nauugnay na dawaking anyo

f (x) = x^TAx

ay may positibong halaga para sa bawat di-serong tuganong x sa Rⁿ. Kung f(x) ay may mga negatibong halaga lamang, negatibong tiyak ang A; kung nagbubunga ang f ng mga negatibo't positibong halaga, di-tiyak ang A.^[32] Kung nagbubunga ang dawaking anyong f ng mga di-negatibong halaga (positibo o sero) lamang, tinatawag ang parianyuing baskagan na positibong hatintiyak (o kung di-positibong halaga lamang, negatibong hatintiyak); samakatuwid di-tiyak ang baskagan kapag hindi ito positibong hatintiyak o negatibong hatintiyak.

Positibong tiyak ang isang parianyuing baskagan kung at tanging kung positibo ang lahat ng mga eigenhalaga nito, samakatuwid,positibong hatintiyak ito at mababaligtad ito.^[33] Nagpapakita ang talahanayan sa kanan ng dalawang posibilidad para sa baskagang 2-na-2.

Kung payagan ang input ng dalawang magkakaibang tugano sa halip, magbubunga ng anyong bilinyar na nauugnay sa A:

B_A(x, y) = x^TAy.^[34]

Ang baskagang ortogonal ay isang baskagang parisukat na may tunay na mga talaan na may ortogonal na tuganong yunit (iyon ay, tuganong ortonormal) bilang mga tudling at hilera. Katumbas nito, ortogonal ang isang baskagang A kung ang lipat nito ay katumbas ng kabaligtaran nito:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,}$

na nangangahulugang

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},}$

kung saan I_n ang kasiyangyaang baskagan ng laking n.

Ang baskagang ortogonal A ay kinakailangang mababaligtad (na may kabaligtarang A⁻¹ = A^T), nagkakaisa (A⁻¹ = A*), at normal (A*A = AA*). +1 o −1 ang taliyak ng anumang baskagang ortogonal. Ang espesyal na baskagang ortogonal ay isang baskagang ortogonal na may taliyak +1. Bilang transpormasyong linyar, ang bawat baskagang ortogonal na may taliyak +1 ay isang purong pag-ikot nang walang sabalik, ibig sabihin, napapanatili ng transpormasyon ang pag-aangkop ng ibinagong istraktura, samantalang ang bawat baskagang ortogonal na may taliyak -1 ay nagpapabaligtad sa pag-aangkop, ibig sabihin, isang pagbubuo ng purong sabalik at isang pag-ikot (posibleng wala). Ang kasiyangyaang baskagan ay may taliyak 1, at mga purong pag-ikot ng isang anggulo sero.

Baskagang nagkakaisa ang masalimuot na analog ng baskagang ortogonal.

Ang bakas, tr(A) ng baksagang parisukat na A ay ang kabuaan ng kanyang hilising talaan. Habang hindi komutatibo ang pagpaparami ng baskagan tulad ng binanggit sa itaas, independyente ang bakas ng produkto ng dalawang baskagan sa pagkaayos ng mga kabuo:

tr(AB) = tr(BA).

Nanggagaling ito mula sa kahulugan ng pagpaparami ng baskagan:

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}$

Sumusunod na independyente ang bakas ng produkto ng higit sa dalawang baskagan mula sa salkuping pamalitan ng mga baskagan, ngunit karaniwang hindi ito nangyayari sa mga alitakdaing pamalitan (halimbawa, tr(ABC) ≠ tr(BAC), sa heneral). Bilang karagdagan, magkatumbas ang bakas ng baskagan sa kanyang lipat, kung saan,

tr(A) = tr(A^T).

Ang taliyak det(A) or |A| ng baskagang parisukat na A ay isang bilang na nagtatala ng mga ibang tiyak na katangian ng baskagan. Mababaligtad lamang ang isang baskagan kung at tanging kung hindi sero ang kanyang taliyak. Katumbas ang kanyang halagang wagas sa sukat (sa R²) o bolyum (sa R³) ng larawan ng yunit na parisukat (o kubo), habang tumutugma ang kanyang tanda sa satungo ng katumbas na mapang linyar: positibo lamang ang taliyak kung at tanging kung napreserba ang satungo.

Nakukuha ang taliyak ng 2-na-2 na baskagan sa

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Nagsasangkot ang taliyak ng mga baskagang 3-na-3 ng 6 na takay (panuntunan ni Sarrus). Sa pamamagitan ng mas mahabang pormulang Leibniz, magagamit ang dalawang pormula sa lahat ng dimensyon.^[35]

Magkatumbas ang taliyak ng produkto ng baskagang parisukat sa produkto ng kanilang taliyak:

det(AB) = det(A) · det(B).^[36]

1. ↑ Katumbas, talahanayan .
2. ↑ Anton (1987, p. 23)
3. ↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 56)
4. ↑ Young, Cynthia. Precalculus. Laurie Rosatone. p. 727.
5. ↑ K. Bryan at T. Leise. Ang $ 25,000,000,000 eigenvector: Ang linear algebra sa likod ng Google. SIAM Review, 48 (3): 569-581, 2006.
6. ↑ Padron:Harvard citations
7. ↑ Fraleigh (1976, p. 209)
8. ↑ Nering (1970, p. 37)
9. ↑ Padron:Harvard citations
10. ↑ Padron:Harvard citations
11. ↑ Padron:Harvard citations
12. ↑ Padron:Harvard citations
13. ↑ Padron:Harvard citations
14. ↑ Padron:Harvard citations
15. ↑ Bronson (1970, p. 16)
16. ↑ Kreyszig (1972, p. 220)
17. ↑ Protter & Morrey (1970, p. 869)
18. ↑ Protter & Morrey (1970, p. 869)
19. ↑ Kreyszig (1972, pp. 241,244)
20. ↑ Schneider, Hans; Barker, George Phillip (2012), Matrices and Linear Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Corporation, p. 251, ISBN 9780486139302{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link).
21. ↑ Perlis, Sam (1991), Theory of Matrices, Dover books on advanced mathematics, Courier Dover Corporation, p. 103, ISBN 9780486668109{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link).
22. ↑ Anton, Howard (2010), Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, p. 414, ISBN 9780470458211{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link).
23. ↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 17, ISBN 9780521839402{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link).
24. ↑ Padron:Harvard citations
25. ↑ Padron:Harvard citations
26. ↑ Padron:Harvard citations
27. ↑ Padron:Harvard citations
28. ↑ Padron:Harvard citations
29. ↑ Padron:Harvard citations
30. ↑ Padron:Harvard citations
31. ↑ Padron:Harvard citations
32. ↑ Padron:Harvard citations
33. ↑ Padron:Harvard citations
34. ↑ Padron:Harvard citations
35. ↑ Padron:Harvard citations
36. ↑ Padron:Harvard citations