సంగమగ్రామ మాధవుడు

మాధవుడు లేదా సంగమగ్రామ మాధవ ( సి.1340 - సి.1425) ఒక ప్రఖ్యాత భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్త, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త. ఈయన భారతదేశం లోని కేరళ రాష్ట్రానికి చెందిన (కొచ్చిన్ సమీపం) సంగమగ్రామానికి చెందినవాడు. ఈయన " కేరళ స్కూల్ ఆఫ్ ఆస్ట్రానమీ అండ్ మాథమెటిక్స్" యొక్క వ్యవస్థాపకుడు. ఈయన ప్రపంచములో అనంత శ్రేణీ యొక్క సుమారు అవధిని త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలలో చెప్పిన మొదటి వ్యక్తి. ఈ పద్ధతిని "decisive step onward from the finite procedures of ancient mathematics to treat their limit-passage to infinity". అంటారు.^[1] ఆయన కనుగొన్న గణిత విషయాలు ప్రస్తుతం గణిత విశ్లేషణగా పిలువబడుతున్నాయి^[4] మధ్య యుగ కాలములో గణిత, ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలలో ప్రముఖునిగా మాధవుడు కీర్తి గడించాడు. ఆయన గణిత శాస్త్రములో అనంత శ్రేణులు, కలనగణితం, త్రికోణమితి, జ్యామితి, బీజ గణితం పై పరిశోధనలు వేసి అనన్య ఖ్యాతి పొందాడు. మాధవుడు కేరళ పాఠశాల యందు రచించిన గణిత రచనల ఐరోపా దేశాలకు వ్యాప్తి చెందాయని కొందరు పండితుల భావన. ఆ కాలంలో పురాతన "ముజిరిస్" పోర్ట్ చుట్టూ గల జెసుయిట్ మిషనరీస్, ట్రేడార్సు ద్వారా ఐరోపా దేశాలకు తరలి పోయాయని పండితుల భావన. దీని ప్రభావంతో ఐరోపా దేశాలలో కలనగణిత భావనల అభివృద్ధి జరిగిందని చెప్పవచ్చు^[5]

కేరళలో మాధవుడు గణితంలో చేసిన ప్రసిద్ధ రచనలకు సాక్ష్యాలు ఉన్నప్పటికీ (ఉదా: "సద్రత్నమాల" సి.1300. అసంపూర్ణమైన ఫలితాల సంపుటి^[6]) కేరళ లోని గణిత సాంప్రదాయ అభివృద్ధికి మాధవుడు చేసిన కృషికి ఆధారాలు లభ్యమైనవి. అయినప్పటికీ మాధవుని అసలు పని యొక్క రచనలు పోయినవి. కేరళ గణీత శాస్త్రవేత్తల రచనల తర్వాత అంశాల పై పనికి శ్రీధరుడు నిరాకరించాడు. ప్రత్యేకించి నీలకంఠ సోమయాజి సి.1500 లో రచించిన "తంత్రసంగ్రహ" పై యితర పరిశోధనలకు నిరాకరించాడు. ఈ తంత్ర సంగ్రహ గ్రంథంలో అనేక అనంత శ్రేణి విస్తరణలు ఉన్నాయి. యివి sinθ, arctanθ. వంటి త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలతో కూడి ఉన్నాయి. 16 వ శతాబ్దంలోని గ్రంథం "మహజ్ఞాన ప్రకార"లో మాధవుడు π. యొక్క అనేక విస్తరణలకు మూలంగా నిలిచాడు.సి. 1530 లో "జ్యేష్ట దేవ" రచించిన "యుక్తిభాస" అనే మలయాళం భాషలో గల గ్రంథంలో^[7] ఈ శ్రేణులు, వాటి ఋజువులు కనిపిస్తాయి.1/ (1+x²), with x = tanθ, మొదలగు బహుపదులకు ఈ శ్రేణులు "టైలర్ శ్రేణి" యొక్క పదాలతో విస్తరింపబడినవి.

ఆవిధముగా మాధవుని పని గూర్చి కొంత సమాచారం స్పష్టంగా చెప్పబడింది. "యుక్తి దీపిక" (తంత్ర సంగ్రహవ్యాఖ్య) అను గ్రంథం "జ్యేష్ట దెవ" యొక్క శిష్యుడైన "శాంకర వారియార్" చే రచింపబడింది. దీనిలో sinθ, cosθ, and arctanθ వంటి త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలకు అనేక కథనాలు అదే విధంగా కొన్ని లబ్ధములు అనగా వృత్తములోని వ్యాసార్థం, చాపం యొక్క లబ్ధం గూర్చి వివరణలు యుక్తిభాసలో కనిపిస్తాయి. దాని గూర్చి రాజగోపాల్, రంగాచారిలు సంస్కృతంలో అసలు వ్యాఖ్యలు గూర్చి వాదులాడుకోలేదు^[1]. గతంలో యీ భావనలు నీలకంఠ సోమయాజి నుండి మాధవునికి వచ్చినవని కొందరు. మరికొందరు యివి మాధవుని స్వయంకృషి ఫలితం అని చెప్పేవారు.

మరికొందరు మొదటి గ్రంథం "కారణపద్ధతి" (సి.1375–1475) లేదా "మహాజ్ఞాన ప్రకాశ" అనే గ్రంథాలు మాధవునిచే వ్రాయబడినవని ఊహించారు. కాని యివి అసంభవమైనది^[3].

కారణపద్ధతి అనే గ్రంథం కేరళ లోని గణీత గ్రంథం అయిన "సద్రత్నమాల" కన్నా పూర్వపు గ్రంథం. అదేవిధంగా "తంత్రసంగ్రహ", "యుక్తిభాస" అనే గ్రంథాలు 1834 లో సి.ఎం.విష్ చే వ్రాయబడిన వ్యాసాలు. యివి న్యూటన్ కనుగొన్న "మెథడ్ ఆప్ ఫ్లూక్సియాన్స్" కంటే పూర్వపు వ్యాసాలని తెలుస్తున్నది.^[6] 20 వ శతాబ్ద మధ్య భాగంలో రష్యా పండితుడు "జుష్‌కెవిచ్" మాధవుని యొక్క మరణ శాసనాలను సందర్శించాడు.^[8] and a comprehensive look at the Kerala school was provided by Sarma in 1972.^[7]

మాధవుని కంటే ముందు కాలములోని అనేక మంది ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు : కుతలూర్ కిజహర్ (2 వ శతాబ్దం)^[9],వరచురి (4 వ శతాబ్దం), శంకరనారాయణ (866 ఎ.డి). ఇంకనూ మనకు తెలియని వ్యక్తులు కూడా ఉండవచ్చును. అయినప్పటికీ మాధవుని తర్వాత కాలంలో గల వారి గూర్చి సరైన సమాచారం ఉంది. "పరమేశ్వర నంబూద్రి" మాధవుని యొక్క ప్రత్యక్ష శిష్యుడు."సూర్య సిద్ధాంత" యొక్క పాం ఆకుల పై రచనల ఆధారంగా పరమేశ్వరుని కుమారుడైన "దామోదర" (c. 1400–1500), నీలకఠ సోమయాజి కూడా శిష్యులని తెలుస్తున్నది. జ్యేష్ట దేవ "నీలకంద" యొక్క శిష్యుడు. "ఆచార్య త్రిక్కంటియూర్" జ్యేష్ట దేవుని శిష్యుడు.^[7]

గణితమును మనం బీజగణితం లోని అనంతమైన పరిశీలనలలో అంతమైన శ్రేణిగా ఊహించుకుంటే, మొదటి సోపానాలు అనంతమైన శ్రేణి విస్తరనలకు దారితీస్తాయి. ఈ అనంత శ్రేణులలో మార్పును మాధవుడు తెలియజేశాడు. ఐరోపా దేశాలలో యిటువంటి మొదటి శ్రేణిని "జేమ్స్ గ్రెగరీ" చే 1667 లో అభివృద్ధి చేయబడింది. ఈ శ్రేణిలో మాధవుని కృషి కనిపిస్తుంది. కాని నిజంగా దోషాలను గుర్తింపబడిన అంచనాలు ఏవో తెలియదు.^[10] దీని వల్ల అనంత శ్రేణి యొక్క అవధి భావన అవగతమైనది. అందువల్ల యిటువంటి శ్రేణులు అనగా "ప్రమేయాల విస్తరణ:, "ఘాత శ్రేణులు", "త్రికోనమితీయ శ్రేణులు", అకరణీయ సంఖ్యల విలువలు మాధవుడు కనుగొనినట్లు తెలియుచున్నది^[11].

ఆయన కనుగొన్న అనేక విషయాలలో త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలైన "సైన్" "కోసైన్" "టాంజెంట్", "ఆర్క్ టాంజెంట్" ల అనంత శ్రేణులను కనుగొన్నాడు. వృత్తము యొక్క చుట్టుకొకతను గణించుటకు అనేక పద్ధతులు కనుగొన్నాడు. "యుక్తిభాస" గ్రంథంలో మాధవుని శ్రేణి గూర్చి వివరింపబడి యున్నది. అందులో "టాంజెంట్ విలోమం" ప్రమేయానికి ఘాత శ్రేణుల యొక్క నిరూపణను వివరించడం జరిగినది^[12]

మాధవుడు సైన్ యొక్క కచ్చితమైన విలువలను పట్టికను తయారుచేశాడు. ఆయన వృత్తం యొక్క పావు భాగంలో సమాన అంతరాలలో 24 చాపాలు గీచి వాటి ఆధారంగా హాఫ్ సైన్ కార్డ్స్ యొక్క విలువలను గణించాడు. యిది మాధవుడు ఈ క్రింది శ్రేణి విస్తరణ ఆధరంగా కచ్చితమైన విలువలను గణించాడని తెలుస్తున్నది.^[4]

sin q = q – q³/3! + q⁵/5! – ...

cos q = 1 – q²/2! + q⁴/4! – ...

మాధవుడు " భారత దేశ మధ్య యుగంలో ప్రముఖ గణిత శాస్త్రవేత్త, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త"గా పిలువబడినాడు.^[3] లేదా "గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణల యొక్క స్థాపకుడు; ఆయన కనుగొన్న విషయాలు అద్భుతమైనవి."^[13] ఓ.కోన్నెర్, రాబర్ట్ సన్ లు మాధవుడు నవీన క్లాసికల్ అనాలసిస్ యందు నిర్ణయాత్మకమైన అడుగు వేశాడని చెప్పారు^[4].

కేరళ పాఠశాల 15వ, 16వ శతాబ్దాలలో ప్రసిద్ధిచెందినది. ఆ కాలంలో యూరోపియన్ నావికులు మలబార్ తీరం నకు వచ్చేవారు. వీరు ఈ పాఠశాలతో సంబంధం కలిగి యుండేవారు. ఆ సమయంలో సంగమగ్రామ పట్టణానికి సమీపంలో గల "ముజిరిస్" నౌకాశ్రయం " సముద్ర వాణిజ్యము నకు ముఖ్య కేంద్రంగా నుండెడిది. ఈ ప్రాంతంలో అనేక మంది జెసూయెట్ మిషనరీస్, వర్తకులు ఉండేవారు. కేరళ పాఠశాల ప్రాముఖ్యం తెలుసుకొన్న కొందరు సెసూయిట్ వర్గాలు యిందులో చేరుటకు ఆసక్తి కనబరిచాయి. ఈ కాలంలో యు. మాంచెస్టర్ కు చెందిన జి.జోసెఫ్ కు కూడా స్థానిక ఉప��ార వేతనం వచ్చినట్లు తెలిస్తున్నది.^[14] ఆ కాలంలో కేరళ పాఠశాల యందు రచనలు ఐరోపా దేశాలకు వ్యాప్తి చెందవచ్చు. ఈ రచనలు న్యూటన్ శతాబ్దానికి ముందు శతాబ్దానికి చెందినవి.^[5] ఈ రచనలకు యూరోపియన్ అనువాదాలు జరుగలేదు. ఈ భావనలు నవీన ఐరోపా యందు కలనగణితం అభివృద్ధికి తోడ్పడ్డాయి.

• భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు
• కలన గణితం