Boolesk ring

En boolesk ring är en ring R sådan att för alla element a, som tillhör R gäller att a² = a, det vill säga elementen är idempotenta.

En boolesk ring är kommutativ, vilket kan bevisas med utgångspunkt från dess definition. Låt elementen a och b tillhöra R. Då fås:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a+b}$ vilket medför att, ${\displaystyle a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+b.}$

Förenkling ger att, ${\displaystyle a+ab+ba+b=a+b}$.

Efter det att ekvationens båda led subtraherats med ${\displaystyle a+b}$ fås att ${\displaystyle ab+ba=0}$.

Detta samband ger att ${\displaystyle ab=-ba}$ och även, om ${\displaystyle b}$ ersätts med ${\displaystyle a}$, att ${\displaystyle aa+aa=0}$.

Alltså, ${\displaystyle 0=aa+aa=a^{2}+a^{2}=a+a=2a}$

varur man får att, ${\displaystyle 2a=0}$ och att, ${\displaystyle a=-a}$.

Således är ringens karakteristik = 2 och den additiva inversen till ${\displaystyle a}$ är ${\displaystyle a}$, dvs ${\displaystyle a}$ är invers till sig själv.

Ringens kommutativitet ges av att, ${\displaystyle ab=-ba=ba}$.

Om potensmängden till en mängd M, är ${\displaystyle 2^{M}=\{X;X\subseteq M\}}$, där ${\displaystyle X}$ är en delmängd till ${\displaystyle M}$, så är ${\displaystyle 2^{M}}$ en boolesk ring med symmetrisk differens ${\displaystyle \,\Delta \,\,}$, motsvarande det logiska konnektivet XOR, som addition och snitt ${\displaystyle \cap }$, motsvarande det logiska konnektivet AND, som multiplikation.

Allmänt gäller att varje boolesk ring ${\displaystyle (R,{\cdot },{+},{-},0,1)}$ är isomorf med en boolesk algebra ${\displaystyle (R,{\land },{\lor },{\neg },0,1)}$ med definitionerna:

${\displaystyle a\lor b=a+b+ab}$

${\displaystyle a\land b=ab}$

${\displaystyle \neg a=a+1}$.

Med ovanstående räkneregler är ${\displaystyle (Z_{2},{+},{\cdot },0,1)}$ en boolesk algebra. En boolesk ring och en boolesk algebra är således ekvivalenta begrepp.^[1]

Varje delring och kvotring av en boolesk ring, är en boolesk ring.

• Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham Massachusetts 1964.
• John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.
• Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.