Gerak muter

Gerak muter nyaéta gerak hiji barang anu nyieun jalur liliwatan mangrupa bunderan nu ngalingkung hiji titik nu tetep. sangkan hiji barang bisa gerak muter, ieu barang merlukeun ayana gaya anu bakal mengkolkeun barang kasebut nuju ka puseur bunderan. Gaya ieu dingaranan gaya séntripétal. Hiji gerak muter beraturan (merenah) bisa disebut ogé gerak digancangkeun merenah, lantaran perlu ayana hiji pacepetan (akselerasi) anu gedéna tetep kalayan tujuan anu robah, anu ngabalukarkeun robahna tujuan gerak hiji barang sangkan ngaliwatan jalur anu ngawangun bunderan Richard S. Westfall, Circular Motion in Seventeenth-century Mechanics, Isis, Vol. 63, No. 2. (Jun., 1972), pp. 184-189..

Diménsi-diménsi anu ngagambarkeun hiji gerak muter nyaéta sudut, laju sudut sarta akselérasi sudut anu masing-masing dilambangkeun ku ${\displaystyle \theta \!}$, ${\displaystyle \omega \!}$ sarta ${\displaystyle \alpha \!}$. Diménsi-diménsi ieu lamun dianalogikan jeung gerak liniér sarimbag jeung posisi, laju sarta akselérasi anu masing-masing dilambangkeun ku ${\displaystyle r\!}$, ${\displaystyle v\!}$ sarta ${\displaystyle a\!}$.

Diménsi gerak lempeng jeung gerak muter

Gerak lempeng		Gerak muter
Diménsi	Hijian (SI)	Diménsi	Hijian (SI)
poisisi ${\displaystyle r\!}$	m	sudut ${\displaystyle \theta \!}$	rad
laju ${\displaystyle v\!}$	m/s	laju sudut ${\displaystyle \omega \!}$	rad/s
akselérasi ${\displaystyle a\!}$	m/s2	akselérasi sudut ${\displaystyle \alpha \!}$	rad/s2
-	-	perioda ${\displaystyle T\!}$	s
-	-	radius ${\displaystyle R\!}$	m

Diménsi-diménsi gerak muter mibanda hubungan dina prosés integrasi jeung diférensiasi.

${\displaystyle \int \omega \ dt=\theta \ \ \leftrightarrow \ \ \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle \int \alpha \ dt=\omega \ \ \leftrightarrow \ \ \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}}$

${\displaystyle \int \int \alpha \ dt^{2}=\theta \ \ \leftrightarrow \ \ \alpha ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

Antara diménsi gerak liniér jeung gerak muter aya hiji hubungan ngaliwatan ${\displaystyle R\!}$ husus pikeun komponén tangénsial, nyaéta

${\displaystyle \theta ={\frac {r_{T}}{R}}\ \ ,\ \ \omega ={\frac {v_{T}}{R}}\ \ ,\ \ \alpha ={\frac {a_{T}}{R}}}$

Perhatikeun yén di dieu dipaké ${\displaystyle r_{T}\!}$ anu didéfinisikan sabagé jarak anu diliwatan atawa sisi gondéwa anu geus diliwatan salila hiji selang waktu sarta lain ngan posisi dina hiji waktu, nyaéta

${\displaystyle r_{T}\approx |{\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)-{\overrightarrow {r}}(t)|\!}$

pikeun hiji selang waktu singket atawa sudut anu heureut.

Gerak muter bisa dibédakeun jadi dua rupa dumasar kana kasarageman laju sudutna ${\displaystyle \omega \!}$, nyaéta:

• gerak muter beraturan (merenah), sarta
• gerak muter robah beraturan (merenah).

Gerak muter merenah nyaéta gerak muter kalawan laju sudut ${\displaystyle \omega \!}$ nu tetep. Harga laju sudut bisa dibeunangkeun ku cara ngabagi laju tangénsial ${\displaystyle v_{T}\!}$ ku radius puteran ${\displaystyle R\!}$

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{t}}{R}}}$

Arah tujuan laju liniér ${\displaystyle v\!}$ dina gerak muter merenah sok nyigeung jalur liliwatan, anu hartina arah tujuanana sarua jeung arah tujuan laju tangénsial ${\displaystyle v_{T}\!}$. Tetepna harga laju ${\displaystyle v_{T}\!}$ alatan tina tetepna harga ${\displaystyle \omega \!}$. Sajaba ti éta, aya ogé akselérasi radial ${\displaystyle a_{R}\!}$ anu hargana tetep sarta arah tujuanana anu robah. Akselérasi ieu disebut akselérasi séntripétal, di mana arah tujuanana sok ngarah puseur bunderan.

${\displaystyle a_{R}={\frac {v^{2}}{R}}={\frac {v_{t}^{2}}{R}}}$

Lamun ${\displaystyle T\!}$ nyaéta waktu anu diperlukeun pikeun ngabéréskeun hiji puteran sapinuhna dina jalur bunderan ${\displaystyle \theta =2\pi R\!}$, mangka bisa ogé dituliskeun

${\displaystyle v_{T}={\frac {2\pi R}{T}}\!}$

Kinematika gerak muter beraturan nyaéta

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega \ t}$

di mana ${\displaystyle \theta (t)\!}$ mangrupa sudut anu diliwatan salila hiji waktu ${\displaystyle t\!}$, ${\displaystyle \theta _{0}\!}$ mangrupa sudut awal sarta \omega\! mangrupa laju sudut (anu tetep hargana).

Gerak muter robah merenah nyaéta gerak muter kalawan laju sudut ${\displaystyle \alpha \!}$ nu tetep. Dina gerak ieu aya akselérasi tangensial ${\displaystyle a_{T}\!}$ (anu dina hal ieu sarua jeung akselérasi liniér) anu nyigeung jalur kuliling bunderan (pahapit jeung arah tujuan laju tangénsial ${\displaystyle v_{T}\!}$).

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{t}}{R}}}$

Kinematika GMBB nyaéta

${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\alpha \ t\!}$

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}\ t+{\frac {1}{2}}\alpha \ t^{2}\!}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}+2\alpha \ (\theta (t)-\theta _{0})\!}$

di mana ${\displaystyle \alpha \!}$ nyaéta akselérasi sudut anu hargana tetep sarta ${\displaystyle \omega _{0}\!}$ nyaéta laju sudut awal.

Gerak muter bisa ogé dinyatakeun dina persamaan paramétrik kalawan leuwih tiheula ngadéfinisikeun:

• titik mimiti gerak dipigawé ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\!}$
• laju sudut puteran ${\displaystyle \omega \!}$ (anu hartina hiji GMB)
• puseur bunderan ${\displaystyle (x_{c},y_{c})\!}$

pikeun saterusna dijieun persamaanna Chapter 22 Parametric Equation,, Department of Mathematics, University of Washington, Math 124 Materials (Autumn), ch 22, pp. 308 Archived 2006-09-03 di Wayback Machine..

Hal kahiji anu kudu dipigawé nyaéta ngitung radius liliwatan ${\displaystyle R\!}$ :

${\displaystyle R={\sqrt {(x_{0}-x_{c})^{2}+(y_{0}-y_{c})^{2}}}\!}$

Sanggeus meunang harga radius liliwatan, persamaan bisa dituliskeun:

${\displaystyle x(t)=x_{c}+Rcos(\omega t+\phi _{x})\!}$

${\displaystyle y(t)=y_{c}+Rsin(\omega t+\phi _{y})\!}$

jeung dua konstanta ${\displaystyle \phi _{x}\!}$ sarta ${\displaystyle \phi _{y}\!}$ anu masih kudu ditangtukeun hargana. Kalawan pasaratan saméméhna, nyaéta dipikanyahona harga ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\!}$, mangka bisa ditangtukeun harga ${\displaystyle \phi _{x}\!}$ sarta ${\displaystyle \phi _{y}\!}$:

${\displaystyle \phi _{x}=\arccos \left({\frac {x_{0}-x_{c}}{R}}\right)\!}$

${\displaystyle \phi _{y}=\arcsin \left({\frac {y_{0}-y_{c}}{R}}\right)\!}$

Perlu dipikanyaho yén sabenerna

${\displaystyle \phi _{x}=\phi _{y}\!}$

alatan mangrupa sudut mimiti gerak muter.

Ku ngagunakeun persamaan paramétrik, geus diwatesan yén diménsi liniér anu dipaké saukur diménsi tangensial atawa ngan komponén véktor dina arah tujuan sudut, anu hartina euweuh komponén véktor dina arah tujuan radial. Ku watesan ieu, hubungan antara diménsi liniér (tangensial) sarta sudut bisa kalawan gampang ditimukeun.

Laju liniér total bisa katimu ngaliwatan persamaan:

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$

sarta alatan watesan impleméntasi persamaan paramétrik dina gerak muter, mangka

${\displaystyle v_{T}=v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$

kalawan

${\displaystyle v_{x}={\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$

${\displaystyle v_{y}={\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}}$

dihasilkeun

${\displaystyle v_{x}=-\omega R\sin(\omega t+\phi _{x})\!}$

${\displaystyle v_{y}=\omega R\cos(\omega t+\phi _{x})\!}$

ku kituna

${\displaystyle v_{T}={\sqrt {(-\omega )^{2}R^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\omega ^{2}R^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle v_{T}=\omega R{\sqrt {\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle v_{T}=\omega R\!}$

Ku cara anu sarua jeung nu saméméhna, akselérasi liniér total bisa katimu ngaliwatan persamaan:

${\displaystyle a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}$

sarta alatan watesan impleméntasi persamaan paramétrik dina gerak muter, mangka

${\displaystyle a_{T}=a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}$

kalawan

${\displaystyle a_{x}={\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

${\displaystyle a_{y}={\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}$

dihasilkeun

${\displaystyle a_{x}=-\omega ^{2}R\cos(\omega t+\phi _{x})\!}$

${\displaystyle a_{y}=-\omega ^{2}R\sin(\omega t+\phi _{x})\!}$

ku kituna

${\displaystyle a_{T}={\sqrt {(-\omega )^{4}R^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\omega ^{4}R^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle a_{T}=\omega ^{2}R{\sqrt {\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle a_{T}=\omega ^{2}R\!}$

Persamaan paramétrik bisa ogé dipaké lamun gerak muter GMBB, atawa lain deui GMB kalawan ayana laju sudut anu robah merenah (atawa ayana akselérasi). Léngkah-léngkah anu sarua bisa dipigawé di dieu, tapi perlu diinget yén

${\displaystyle \omega \rightarrow \omega (t)=\int \alpha dt=\omega _{0}+\alpha t\!}$

kalawan ${\displaystyle \alpha \!}$ laju sudut sarta ${\displaystyle \omega _{0}\!}$ laju sudut awal. Penurunan GMBB ieu baris jadi saeutik leuwih rumit dibandingkeun dina kasus GMB di luhur.

Persamaan paramétrik di luhur, bisa dituliskeun dina wangun anu leuwih umum, nyaéta:

${\displaystyle x(t)=x_{c}+R\cos \theta \!}$

${\displaystyle y(t)=y_{c}+R\sin \theta \!}$

di mana ${\displaystyle \theta =\theta (t)\!}$ nyaéta sudut anu diliwatan dina hiji waktu. Kawas geus disebutkeun di luhur ngeunaan hubungan antara ${\displaystyle \theta \!}$, ${\displaystyle \omega \!}$ jeung ${\displaystyle \alpha \!}$ ngaliwatan prosés integrasi sarta diférensiasi, mangka dina kasus GMBB hubungan-hubungan kasebut mutlak diperlukeun.

Ku ngagunakeun aturan ranté dina ngalakonan diférensiasi posisi ti persamaan paramétrik katimu:

${\displaystyle v_{x}(t)=-R\sin \theta \ {\frac {d\theta }{dt}}=-\omega (t)R\sin \theta \!}$

${\displaystyle v_{y}(t)=R\cos \theta \ {\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t)R\cos \theta \!}$

kalawan

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t)=\omega _{0}+\alpha \ t\!}$

Bisa dibuktikeun yén

${\displaystyle v(t)=v_{t}(t)={\sqrt {v_{x}^{2}(t)+v_{y}^{2}(t)}}=\omega (t)R\!}$

sarua jeung kasus dina GMB.

Diférensiasi laju liniér dumasar waktu satuluyna ngahasilkeun

${\displaystyle a_{x}(t)=-R\cos \theta \ \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-R\sin \theta {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\!}$

${\displaystyle a_{x}(t)=-R\sin \theta \ \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+R\cos \theta {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\!}$

anu bisa disederhanakan jadi

${\displaystyle a_{x}(t)=-\omega ^{2}R\cos \theta -\alpha R\sin \theta \!}$

${\displaystyle a_{x}(t)=-\omega ^{2}R\sin \theta +\alpha R\cos \theta \!}$

Saterusna

${\displaystyle a^{2}(t)=a_{x}^{2}(t)+a_{y}^{2}(t)=R^{2}\left(\omega ^{4}(t)+\alpha ^{2}\right)\!}$

anu umumna dituliskeun Ian Burley, Meg Carrington, Randy Kobes, Gabor Kunstatter, Centripetal Acceleration, IUN/FYDE Introductory Physics Notes, circ:node6 Archived 2018-09-23 di Wayback Machine, University of Winnipeg, 10/9/1997.

${\displaystyle a^{2}(t)=a_{r}^{2}(t)+a_{t}^{2}(t)\!}$

kalawan

${\displaystyle a_{T}=\alpha R\!}$

anu mangrupa akselérasi sudut, sarta

${\displaystyle a_{R}=\omega ^{2}R=a_{s}\!}$

anu mangrupa akselérasi séntripétal. Sélér séntripétal ieu mecenghul alatan obyék kudu dipéngkolkeun atawa lajuna kudu dirobah ku kituna gerak nuturkeun liliwatan bunderan.

Gerak muter bisa ditoong minangka gerak robah merenah. Bédakeun jeung gerak lempeng robah merenah (GLBB). Konsép laju anu robah sakapeung ngan dipahaman dina robahan badagna, dina gerak muter merenah (GMB) gedéna laju nyaéta tetep, tapi arah tujuanana anu robah sacara merenah, bandingkeun jeung GLBB anu arah tujuanana tetep tapi gedé lajuna anu robah merenah.

Gerak robah merenah

LAju	GLBB	GMB
Gedé	robah	tetep
Arah tujuan	tetep	robah