Поинтингов вектор

Поинтингов вектор у електромагнетизму је вектор који се добија из Поинтингове теореме о одржању енергије у електромагнетном пољу и има значење трансферзалног протока енергије у односу на раван сачињену од временски променљивог електричног и магнетног поља.

Електромагнетизам
Електрицитет Магнетизам
Електростатика Електрично наелектрисање Статички електрицитет Електрично поље Проводник Изолатор Трибоелектрицитет Електростатичко пражњење Индукција Кулонов закон Гаусов закон Електрични флукс / потенцијална енергија Електрични диполни момент Поларизациона густина
Магнетостатика Амперов закон Магнетно поље Магнетизација Магнетни флукс Био—Саваров закон Магнетни диполни моменат Гаусов закон магнетизма
Магнетодинамика Магнетно коло Магнетизација Магнетна струја
Електродинамика Лоренцова сила Електромагнетска индукција Фарадејев закон Ленцов закон Струја помака Магнетни потенцијал Максвелове једначине Електромагнетно поље Електромагнетна радијација Максвелов тензор Поинтингов вектор Лијенар—Вихертов потенцијал Јефименкове једначине Вртложне струје Лондонове једначине Математички опис електромагнетног поља
Електрична мрежа Електрична струја Електрични потенцијал Напон Отпор Омов закон Серијско коло Паралелно коло Једносмерна струја Наизменична струја Наелектрисана струја Неутрална струја Електромоторна сила Електрични капацитет Самоиндукција Импеданса Резонантне шупљине Таласовод
Коваријантна формулација Електромагнетни тензор (стресно-енергетски тенсор) Четвороток Четворовектор потенцијала
Научници Ампер Кулон Фарадеј Карл Фридрих Гаус Хевисајд Хенри Херц Лоренц Максвел Тесла Волта Вебер Ерстед
п р у

Поинтингов вектор ${\displaystyle \mathbf {S} }$ је:

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

где је ${\displaystyle \mathbf {E} }$ јачина електричног поља, а ${\displaystyle \mathbf {H} }$ јачина магнетног поља.

Поинтингов вектор изражен у облику преко јачине електричног и јачине магнетног поља се добија из Поинтингове теореме.

Укупан флукс енергије кроз дату запремину ${\displaystyle V}$ је површински интеграл:

${\displaystyle \iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} }$

који се преко Гаусове теореме о дивергенцији може записати преко запреминског интеграла:

${\displaystyle \iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV}$

Одавде је густина енергетског флукса:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }$

Густина електромагнетне енергије је:

${\displaystyle u=\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }$

где су ${\displaystyle \mathbf {D} }$ електрична индукција, а ${\displaystyle \mathbf {B} }$ магнетна индукција:

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}}$

Налажењем временског извода густине електромагненте енергије ${\displaystyle u}$, добија се:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

Како би се десна страна израза преписала преко само јачине електричног поља ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и јачина магнетног поља ${\displaystyle \mathbf {H} }$, могу се користити Максвелове једначине и тиме се магнетна индукција ${\displaystyle \mathbf {B} }$ може изразити преко ${\displaystyle \mathbf {E} }$:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} }$

а електрична индукција ${\displaystyle \mathbf {D} }$ преко ${\displaystyle \mathbf {H} }$:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} }$

Одавде се добија да израз за промену густине електромагнетног поља у времену:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

где је ${\displaystyle \mathbf {J} }$ густина струје.^[1]

У произвољној запремини простора ${\displaystyle V}$, на основу закона о одржању енергије, збир промене густине електромагнетне енергије у јединици времена ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}$ и густине енергетског флукса који протекне кроз ту запремину ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }$, једнак је негативном раду у јединици времена на премештању слободних и споља унетих наелектрисања у тај простор ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$, тако да важи:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }=-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

Одавде се добија да је:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} \\\end{aligned}}}$

Коначно, коришћењем векторског идентитета:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )}$

добија се израз за Поинтингов вектор^[2]:

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

• Електромагнетно поље
• Поинтингова теорема
• Максвелове једначине