Кристофелови симболи

Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са ${\displaystyle [\mu \nu ,\kappa ]=\Gamma _{\mu \nu \kappa },}$ а симболи друге врсте са ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\sigma \\\mu \nu \end{Bmatrix}}=\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }}$. У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у ${\displaystyle x^{i}}$ вектор има вредност ${\displaystyle A^{i},}$ а у некој тачки ${\displaystyle x^{i}+dx^{i}}$ вредност ${\displaystyle A^{i}+dA^{i}.}$ Ако вектор ${\displaystyle A^{i}}$ транспортујемо до ${\displaystyle x^{i}+dx^{i}}$ он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за ${\displaystyle \delta A^{i}.}$ Укупна разлика два вектора постаје онда:

${\displaystyle DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}}$

Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

${\displaystyle \delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.}$

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености ${\displaystyle {r}}$ и под углом ${\displaystyle \varphi .}$ Нека вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ има координате ${\displaystyle (a,\,\alpha )}$, односно налази се на удаљеност ${\displaystyle a}$ од центра и из центра се види под углом ${\displaystyle \alpha }$. Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему. У поларном систему вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:

${\displaystyle |A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$

а на другом је:

${\displaystyle a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2},}$

па се добија:

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r.}$

Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је: ${\displaystyle \alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda }$, ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$, и ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$ па је:

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .}$

Осим тога пошто је ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$, ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$, и ${\displaystyle A\sin \lambda =r\alpha }$, онда је

${\displaystyle {\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .}$

Означимо ли:${\displaystyle x^{1}=r}$, ${\displaystyle x^{2}=\varphi }$, ${\displaystyle {A^{1}=a}}$ и ${\displaystyle A^{2}=\alpha }$ онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута

${\displaystyle \delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.}$

могу добити Кристофелови симболи као: ${\displaystyle {\Gamma _{22}^{1}=-r}}$, ${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r}$, а сви остали су нула.

Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:

${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}\Gamma ^{d}{}_{ab}\,,}$

Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),\ }$

а ту је ${\displaystyle g^{ij}\ }$ контраваријантни приказ метричкога тензора, а ${\displaystyle g_{ij}\ }$ представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\ }$. Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као: ${\displaystyle \Gamma _{n,ij}^{}}$

${\displaystyle \Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right)}$

Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.}$

С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:

${\displaystyle \nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0.\ }$

За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су ${\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2}}$, ${\displaystyle g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle g_{\theta \theta ,r}=2r}$, ${\displaystyle g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta }$. па су Кристофелови симболи дани са:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$

За цилиндрични координатни систем симболи су:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-r\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}$

Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора: Коваријантни извод тензорскога поља ${\displaystyle A^{ik}\ }$ је

${\displaystyle \nabla _{\ell }A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{m\ell }A^{mk}+\Gamma ^{k}{}_{m\ell }A^{im},\ }$

тј.

${\displaystyle A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }+A^{im}\Gamma ^{k}{}_{m\ell }.\ }$

За мешано тензорско поље имамо:

${\displaystyle A^{i}{}_{k;\ell }=A^{i}{}_{k,\ell }+A^{m}{}_{k}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{k\ell },\ }$

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

${\displaystyle A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-A_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.\ }$

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

${\displaystyle \nabla _{k}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}+\sum _{\alpha =1}^{n}\Gamma _{k\ell }^{i_{\alpha }}\ v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{\alpha -1}\ \ell \ i_{\alpha +1}\cdots i_{n}}-\sum _{\alpha =1}^{m}\Gamma _{ki_{\alpha }}^{\ell }\ v_{j_{1}\cdots j_{\alpha -1}\ \ell \ j_{\alpha +1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}}$

Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}\ }$

и

${\displaystyle g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}}$

Ту је |g| детерминанта од ${\displaystyle g_{ij}\ }$, односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране ${\displaystyle g^{ij}\ }$ означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\ }$.

При трансформацији једнога система ${\displaystyle (x^{1},...,x^{n})\ }$ у други ${\displaystyle (y^{1},...,y^{n})\ }$, вектори базе се коваријантно трансформишу:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ }$

па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:

${\displaystyle {\overline {\Gamma ^{k}{}_{ij}}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\ }$

• Кристофелов симбол
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall