Средња вредност

Постоји неколико типова средње вредности у разним гранама математике (а посебно статистике).

За скуп података, аритметичка средина, која се назива и математичко очекивање или просек, је централна вредност дискретног скупа бројева: конкретно, збир вредности подељен са бројем вредности. Аритметичка средина скупа бројева x₁, x₂, ..., x_n обично се означава са ${\displaystyle {\bar {x}}}$, изговара се „x надвучено”. Ако се скуп података заснива на низу опажања добијених узорковањем из статистичке популације, аритметичка средина је средња вредност узорка (означена ${\displaystyle {\bar {x}}}$), да би се разликовала од средње вредности исходишне дистрибуције, популационе средње вредности (означене са ${\displaystyle \mu }$ или ${\displaystyle \mu _{x}}$).^[1]

У вероватноћи и статистици, популациона средина или очекивана вредност су мерило централне тенденције било расподеле вероватноће или случајне променљиве коју карактерише та дистрибуција.^[2] У случају дискретне расподеле вероватноће случајне променљиве X, просек је једнак збиру свих могућих вредности пондерисаних вероватноћом тих вредности; то јест, израчунава се узимајући производ свих могућих вредности x из X и његове вероватноће p(x), а затим сабирањем свих тих производа заједно, што даје ${\displaystyle \mu =\sum xp(x)}$.^[3] Аналогна формула се односи на случај континуиране расподеле вероватноће. Нема свака дистрибуција вероватноће дефинисану средњу вредност. То је на пример случај са Кошијевом дистрибуцијом. Штавише, за неке дистрибуције средња вредност је бесконачна.

За коначну популацију, популациона средња вредност својства једнака је аритметичкој средини датог својства, узимајући у обзир сваки члан популације. На пример, просечна висина популације једнака је збиру висина сваког појединца подељеног са укупним бројем јединки. Средња вредност узорка може се разликовати од просека популације, посебно за мале узорке. Закон великих бројева условљава да што је већа величина узорка, већа је вероватноћа да ће средња вредност узорка бити близу популационе средине.^[4]

Изван вероватноће и статистике, у геометрији и анализи често се користи широк спектар других појмова „средње вредности”; примери су дати испод.

Аритметичка средња вредност (или једноставно средина) за узорак ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, обично означена са ${\displaystyle {\bar {x}}}$, је сума вредности узорка подељена бројем ставки у узорку

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

На пример, аритметичка средина пет вредности: 4, 36, 45, 50, 75 је:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

Геометријска средина је просек који је користан за скупове позитивних бројева који се интерпретирају у складу са њиховим производом, а не њиховим збиром (као што је случај са аритметичком средином); нпр. стопе раста.

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$

На пример, геометријска средина пет вредности: 4, 36, 45, 50, 75 је:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

Хармонијска средина је просек који је користан за скупове бројева који су дефинисани у односу на неку јединицу, на пример брзину (растојање по јединици времена).

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

На пример, хармонијска средина пет вредности: 4, 36, 45, 50, 75 је

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

АС, ГС и ХС задовољавају ове неједнакости:

${\displaystyle \mathrm {AS} \geq \mathrm {GS} \geq \mathrm {HS} \,}$

Једнакост важи само ако су сви елементи датог узорка једнаки.

У описној статистици, средња вредност се може погрешно поистоветити са медијаном, модусом или средином опсега, јер се било која од њих може назвати „просеком” (формалније, мером централне тенденције). Средња вредност скупа опажања је аритметичка средина вредности; међутим, за закривљене дистрибуције средња вредност није нужно иста као средишња вредност (медијана) или највероватнија вредност (модус). На пример, средњи доходак је типично закривљен навише због малог броја људи са веома великим примањима, тако да већина има приход нижи од просека. На��упрот томе, медијана прихода је ниво на којем је половина становништва нижа, а половина изнад. Модус приход је највероватнији доходак и погодује већем броју људи са нижим примањима. Док су медијана и модус често интуитивније мере за такве закривљене податке, многе закривљене дистрибуције се заправо најбоље описују њиховом средњом вредношћу, укључујући експоненцијалну и Поасонову дистрибуцију.

Средња вредност расподеле вероватноће је дуготрајна аритметичка средина случајне променљиве која има ту дистрибуцију. У том контексту она је такође позната и као очекивана вредност. За дискретну расподелу вероватноће, средња вредност је дата са ${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$, где се збир узима над свим могућим вредностима случајне променљиве и ${\displaystyle P(x)}$ је функција вероватноће масе. За континуирану дистрибуцију, средња вредност је ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$, где је ${\displaystyle f(x)}$ функција густине вероватноће. У свим случајевима, укључујући оне у којима дистрибуција није ни дискретна, нити континуирана, средња вредност је Лебегов интеграл случајне променљиве у односу на њену меру вероватноће. Средња вредност не мора да постоји или да буде коначна; за неке дистрибуције вероватноће средња вредност је бесконачна (+∞ или −∞), док за остале нема средње вредности.

Генерализована средња вредност, такође позната као степенска средња вредност или Хелдерова средина, је апстракција квадратне, аритметичке, геометријске и хармонијске средине. Она се дефинише за скуп од n позитивних бројева x_i са

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}}$

Бирајући различите вредности за параметер m, следећи типови средње вредности се добијају:

${\displaystyle m\rightarrow \infty }$	максимум од ${\displaystyle x_{i}}$
${\displaystyle m=2}$	квадратна средина
${\displaystyle m=1}$	аритметичка средина
${\displaystyle m\rightarrow 0}$	геометријска средина
${\displaystyle m=-1}$	хармонијска средина
${\displaystyle m\rightarrow -\infty }$	минимум од ${\displaystyle x_{i}}$

Ово се може даље генерализовати као генерализована ƒ-средња вредност

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)}$

и поново одговарајући избор инвертибилне ƒ даје

${\displaystyle f(x)=x}$	аритметичка средина,
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$	хармонијска средина,
${\displaystyle f(x)=x^{m}}$	степенска средина,
${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$	геометријска средина.

Пондерисана аритметичка средина (или пондерисана средина) се користи ако се жели да се комбинују средње вредности из узорка дата популације са различитим величинама узорка:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.}$

Тежине ${\displaystyle w_{i}}$ представљају величине разних узорака. У другим апликацијама, оне представљају меру поузданости утицаја на средњу вредност респективним вредностима.

Понекад скуп бројева може да садржи осамљене делове, и.е. вредности података које су знатно ниже или знатно веће од осталих. Често су такве вредности погрешни подаци изазвани артефактима. У том случају, може се користити зарубљена средина. То укључује одбацивање датих делова података на горњем или доњем крају, обично једнаке количине на сваком крају, а затим узимање средње аритметичке вредности преосталих података. Број уклоњених вредности приказан је у процентима од укупног броја вредности.

Интерквартилна средина је специфични пример зарубљене средине. То је једноставно аритметичка средина након уклањања најниже и највише четвртине вредности.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}}$

уз претпоставку да су вредности поређане, то је једноставно специфичан пример пондерисане средње вредности за специфични скуп тежина.

У неким околностима, математичари могу израчунати средину бесконачног (чак и неизбројивог) скупа вредности. То се може догодити при израчунавању средње вредности ${\displaystyle y_{\text{ave}}}$ функције ${\displaystyle f(x)}$. Интуитивно се ово може замислити као израчунавање површине испод секције криве, а затим дељење са дужином те секције. Ово се може учинити грубо бројањем квадрата на графичком папиру или тачније интеграцијом. Формула интеграције се пише као:

${\displaystyle y_{\text{ave}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$

Мора се водити рачуна дати интеграл конвертира. Средња вредност може бити коначна чак и ако се сама функција у неким тачкама тежи ка бесконачности.

Углови, доба дана и друге цикличке величине захтевају модуларну аритметику за додавање и комбиновање бројева. У свим овим ситуацијама неће постојати јединствена средина. На пример, времена сат времена пре и после дванаест сати су једнако удаљена од поноћи и поднева. Такође постоји могућност да средња вредност не постоји. Ако се разматра точак боја - не постоји средња вредност скупа свих боја. У тим ситуацијама мора се одлучити која је средња вредност најкориснија. То се може учинити подешавањем вредности пре усредњавања, или коришћењем специјализованог приступа за средњу вредност кружне количине.

Фрешеова средина пружа начин за одређивање „центра” расподеле масе на површини, или генералније Римановој многострукости. За разлику од многих других приступа, Фрешеова средина је дефинисана на простору чији се елементи не могу нужно сабирати или множити скаларима. Она је понекад позната и под називом Карчерова средина (названа по Херману Карчеру).

Аритметичка средина популације или популациони просек се означава са µ. Средња вредност узорка ${\displaystyle {\bar {x}}}$ (аритметичка средина узорка вредности извучених из популације) чини добар процењивач популационе средње вредности, пошто је његова очекивана вредност једнака популационој средњој вредности (то је, непристрасни процењивач). Средња вредност узорка је случајна променљива, а не константа, јер се њена израчуната вредност рандомно разликује у зависности од тога који су припадници популације узорковани, и консеквентно има своју сопствену дистрибуцију. За случајни узорак од n независних опажања, очекивана вредност средње вредности узорка је

${\displaystyle \operatorname {E} {\bar {x}}=\mu }$

а варијанса просечне вредности узорка је

${\displaystyle \operatorname {var} ({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

Ако је популација нормално дистрибуирана, тада је средња вредност узорка нормално дистрибуирана:

${\displaystyle {\bar {x}}\thicksim N\left\{\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right\}.}$

Ако популација није нормално дистрибуирана, средња вредност узорка је ипак приближно нормално дистрибуирана, ако је n велико и σ²/n < +∞. То произлази из централне граничне теореме.

Средња вредност листе представља све бројеви сабране и подељене величином листе.