rekke (matematikk)

Uendelige rekker spiller en stor rolle i matematikken fordi mange viktige konstanter og funksjoner kan skrives som summen av uendelige rekker av enkle typer.

Særlig viktige er uttrykkene som kan skrives på formen \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots\). Høyre side av likhetstegnet er en potensrekke, og summen av denne rekken definerer her en funksjon \(f\) for de verdiene av \(x\) som gjør rekken konvergent. Dersom potensrekken til \(f\) konvergerer mot \(f\), så kan koeffisientene \(a_n\) bestemmes ved hjelp av de deriverte til \(f\). Vi har nemlig at \[a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}, \quad n=0,1,2,\dots.\] Her er \(n!=1\cdot 2\cdots n\) fakultetsfunksjonen. For alle potensrekker fins det et tall \(R\ge 0\) slik at potensrekken konvergerer mot \(f(x)\) for alle \(x\) slik at \(|x|<R\) og divergerer for alle \(|x|>R\). Om \(R=0\), konvergerer potensrekken bare for \(x=0\), og dersom \(R=\infty\), konvergerer potensrekken for alle \(x\). Her kan godt \(x\) være et komplekst tall.

For eksempel kan eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene fremstilles som summen av uendelige potensrekker som konvergerer for alle verdier av den variable \(x\). Vi har \[ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \] \[\sin x= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \] \[\cos x= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.\]

Potensrekken for logaritmefunksjonen \[\ln(1+x)=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{n}\] konvergerer for \(|x|<1\). Om vi setter \(x=1\) i potensrekken for eksponentialfunksjonen, finner vi \[e= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}. \]

Andre viktige typer rekkeutviklinger av funksjoner er de trigonometriske rekkene, også kalt fourier-rekker, som er av typen \(f(x)= \frac12 A_0+(A_1\cos x+B_1\sin x)+(A_2\cos 2x+B_2\sin 2x)+\cdots \).

Noen andre kjente tallrekker er \[\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}, \] \[\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}. \]

En av de mest kjente rekker er Riemanns zetafunksjon som er gitt ved \[\zeta(s)= \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s}.\] Den er definert for komplekse tall \(s\) med realdel større enn \(1\) (og ved analytisk fortsettelse for andre komplekse tall). Denne funksjonen danner utgangspunktet for det mest kjente uløste problem i matematikk, den såkalte Riemanns hypotese. Denne hypotesen sier at alle nullpunkter for zetafunksjonen, dvs alle verdier av \(s\) slik at \(\zeta(s)=0\), må ha realdel nøyaktig lik \(1/2\) (i tillegg til de såkalte trivielle nullpunktene \(-2,-4,-6, \dots\)). Dette problemet er uløst.

Den presise definisjonen av grenseverdi er følgende: For ethvert (lite) positivt tall \(\epsilon>0\) skal det fins et (stort) naturlig tall \(N\) (som avhenger av \(\epsilon\)) slik at \[|\sum_{n=1}^k a_n-a|<\epsilon\] for alle \(k>N\). Det vil si at vi kan få summen \(\sum_{n=1}^k a_n\) vilkårlig nær \(a\) om vi tar med tilstrekkelig mange ledd. Når \(\epsilon\) blir mindre, vil \(N\) bli større. Om dette er tilfelle, sier vi at rekken konvergerer mot \(a\) og skriver \(\sum_{n=1}^\infty a_n=a\).

Det første stringente grunnlaget for teorien for uendelige rekker ble lagt av Niels Henrik Abel og Augustin Louis Cauchy på begynnelsen av 1800-tallet.

• konvergens