Pytagorova veta

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$,

kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ sú dĺžky odvesien a ${\displaystyle c}$ je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.^[1]

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti ${\displaystyle k}$ je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca ${\displaystyle k}$-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou ${\displaystyle k}$ a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {c} }$, pre ktoré platí

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a} \qquad \mathbf {a} \perp \mathbf {b} .}$

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {c} \|^{2},}$

kde ${\displaystyle \|\cdot \|}$ je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ${\displaystyle ABC}$ s pravým uhlom pri vrchole ${\displaystyle C}$ označíme

${\displaystyle \mathbf {a} =B-C,\ \ \mathbf {b} =A-C,\ \ \mathbf {c} =A-B,}$

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou ${\displaystyle a+b}$ je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$
• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou ${\displaystyle c}$.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

• Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$. Pre jeho obsah teda platí:

${\displaystyle S=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$.

• Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou ${\displaystyle c}$. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov (${\displaystyle {\begin{matrix}4{\frac {ab}{2}}=2ab\end{matrix}}}$) a bieleho štvorca so stranou c (${\displaystyle c^{2}}$). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

${\displaystyle S=2ab+c^{2}}$.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (${\displaystyle DCB}$ a ${\displaystyle DAC}$, ktorý sa rovná uhlu ${\displaystyle BAC}$) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {rad} }$). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. ${\displaystyle {\mathit {|BAC|+|ACB|+|CBA|}}=180^{\circ }}$
2. ${\displaystyle {\mathit {|CBD|+|BDC|+|DCB|}}=180^{\circ }}$
3. ${\displaystyle {\mathit {|DAC|+|ACD|+|CDA|}}=180^{\circ }}$

z uvedeného vyplýva, že

1. ${\displaystyle {\mathit {|BAC|+|CBA|}}=90^{\circ }}$
2. ${\displaystyle {\mathit {|CBD|+|DCB|}}=90^{\circ }}$
3. ${\displaystyle {\mathit {|DAC|+|ACD|}}=90^{\circ }}$

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly ${\displaystyle BAC}$ a ${\displaystyle DAC}$ sú zhodné), že platí |${\displaystyle CBA}$| = |${\displaystyle ACD}$|. Ak ${\displaystyle CBA}$ dosadíme do 3. rovnice na miesto ${\displaystyle ACD}$, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |${\displaystyle BCD}$| = |${\displaystyle DAC}$|. Trojuholníky sú si teda podobné.

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

${\displaystyle a/p=c/a\quad \Rightarrow \quad a^{2}/p=c\quad \Rightarrow \quad a^{2}=cp}$

a rovnako platí aj

${\displaystyle b/q=c/b\quad \Rightarrow \quad b^{2}/q=c\quad \Rightarrow \quad b^{2}=cq.}$

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=cp+cq\quad \Rightarrow \quad a^{2}+b^{2}=c(p+q).}$

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že ${\displaystyle c=p+q}$, čo po dosadení dá:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla^[2] tvoria trojice prirodzených čísel ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle c}$, pre ktoré platí ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

• Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
• Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
• Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

• Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel a, b, c je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde m > n > 0:^[3]

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$

Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Pytagorova veta

• Dôkazy Pytagorovej vety (po nemecky)