අවකලනය

අවකලන විෂය පථය ගණිතයට අයත් වන්නක් වන අතර එමගින් ශ්‍රිතයක අදානයන් විචලනය වීමත් සමග ශ්‍රිතයක් වෙනස් වන ආකාරය අධ්‍යයනය කෙරේ. අවකලනය පිළිබඳ අධ්‍යයනයෙහි මූලික අභිප්‍රාය ව්‍යුත්පන්නයයි. අවකලනය ද මීට ආසන්න ගුණ ඇති ප්‍රත්‍යයකි. කිසියම් අදායක ලක්ෂයක් සඳහා ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය මගින් එම ලක්ෂ්‍යය අසල දී ශ්‍රිතයේ හැසිරීම ගම්‍යය වේ. තාත්වික විචල්‍යයක තාත්වික අගයයන් ඇසුරින් නිර්මිත ශ්‍රිතයක් සඳහා ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ කිසියම් ලක්ෂයකට ඇඳි ස්පර්ශකයේ අනුක්‍රමණය එම ලක්ෂයේ දී ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයට සමවේ. කෙටියෙන් කියතොත් කිසියම් ශ්‍රිතයක ලක්ෂයක් සඳහා ව්‍යුත්පන්නය මගින් එම ශ්‍රිතයේ එම ලක්ෂය සඳහා වඩාත් නිවැරදිම රේඛීය සන්නිකර්ෂණය ලැබේ.

මෙසේ ව්‍යුත්පන්නයක් ලබා ගැනීමේ ක්‍රියාවලිය අවකලනය නම් වේ. අවකලනය , අනුකලනයෙහි ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රියාවලිය බව මූලික කළ ප්‍රමේය මගින් දැක්වේ.

අවකලනය සියලුම ප්‍රමාණාත්මක / රාශික විෂය පථයන්හි භාවිතා වේ. භෞතික විද්‍යාවේ දී චලනය වන වස්තුවක් සහ කාලය ඉදිරියේ විස්ථාපනයේ ව්‍යුත්පන්නය එම වස්තුවේ ප්‍රවේගය වන අතර කාලය ඉදිරියේ ප්‍රවේගයේ ව්‍යුත්පන්නය ත්වරණය වේ. නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමයට අනුව කිසියම් වස්තුවක ගම්‍යතාවයේ ව්‍යුත්පන්නය එම වස්තුව මත යොදන ලද බලයට සමවේ. රසායනික ප්‍රතික්‍රියාවක ප්‍රතික්‍රියා සීඝ්‍රතාව පවා ව්‍යුත්පන්නයකි. මෙහෙයුම් පර්යේෂණවලදී, ද්‍රව්‍යය ප්‍රවාහනය හා කර්මාන්තශාලා ගොඩනැගීම සඳහා වඩාත්ම කාර්යක්ෂම ක්‍රම නිර්ණය කිරීම සදහා ව්‍යුත්පන්නයන් භාවිතා වේ. තරගකාරී ආයතන වටපිටාවක් සදහා වඩාත්ම ගැ‍ළපෙන උපාය මාර්ගික ක්‍රමවේද හඳුනාගැනීම සඳහා තරගකාරිත්වය පිළිබඳවාදය යොදන විට ද ව්‍යුත්පන්නය මගින් අවශ්‍ය ප්‍රතිඵල ලබා ගැනේ.

ශ්‍රිතයක අවමය හා උපරිමය සොයාගැනීම සඳහා ව්‍යුත්පන්නය බහුලව යොදාගැනේ. අවකලන සමීකරණ ලෙස හැඳින්වෙනනේ මෙවැනි ව්‍යුත්පන්න අන්තර්ගත සමීකරණයි. මේවා ස්වභාවික සංසිද්ධීන් විස්තර කිරීම සඳහා මූලිකව යොදා ගැනේ. ව්‍යුත්පන්න සහ ඒවායේ සාධාරණීකරණය කළ ආකාර ගණිතය පුරාම දැකගත හැක. සංකීර්ණ විශ්ලේෂණය , ශ්‍රිත‍ීය විශ්ලේෂණය , අවකල ජ්‍යාමිතිය මෙන්ම අමූර්ත වීජ ගණිතය වැනි විෂයපථ පවා මේ සඳහා උදාහරණ ලෙස පෙන්වා දිය හැක.

x හා y යනු තාත්වික සංඛ්‍යා හා y, x හි ශ්‍රිතයක් එනම් y = f(x) යයි සලකන්න. ඒකජ ශ්‍රිතයක් සරලතම ශ්‍රිත වර්ග වලින් එකකි. මෙය එහි ප්‍රස්ථාරය රේඛාවක් වන ශ්‍රිතයකි. එම අවස්ථාවේදී, y = f(x) = m x + c මෙහි m හා c ප්‍රස්ථාරයෙන් නිෂ්චය වන රේඛාව මත රදා පවතින තාත්වික සංඛ්‍යාවේ. m අනුක්‍රමණය ලෙස හදුන්වන අතර එය

මගින් දක්වයි. මෙහි Δ සංකේතය (ග්‍රීක අකුරු ඩෙල්ටාහි ලොකු අකුරු ආකාරය) ‘වෙනස්වීම’ දැක්වීමට කෙටි යෙදුමකි. මෙම සූත්‍රය සත්‍ය වනුයේ

y + Δy = f ( x + ∆x) = m(x + ∆x) + c = mx + c + m ∆x = y + m∆x. එය Δy = mΔx. යන්න පිළිපදියි. කෙසේ හෝ මෙය රේඛීය ශ්‍රිතවලට පමණක් සාධාරණ වේ. රේඛීය නොවන ශ්‍රිත සදහා පැහැදිලිව අර්ථකථනය කළ හැකි අනුක්‍රමණයක් නැත. x ලක්ෂ්‍යකදී f හි ව්‍යුත්පන්නය, f හි x ලක්ෂ්‍යයේදී අනුක්‍රමණයට ලබාදිය හැකි හොදම ආසන්න කිරීමයි. සාමාන්‍යයෙන් එය f'(x) හෝ dy/dx ලෙස නිරූපණය කරයි. x හිදී f හි අගය හා f හි ව්‍යුත්පන්නය මගින් x අසල f හි හොඳම රේඛීය ආසන්න කිරීම හෝ රේඛීයකරණය නිර්ණය කළ හැක. පසුව කී ලක්ෂණය සාමාන්‍යයෙන් ව්‍යුත්පන්නයේ අර්ථකථනය ලෙස ගනු ලැබේ. මීට සම්බන්ධ සමීපතම ගුණය ශ්‍රිතයක අවකලයයි.

x හා y තාතක්වික විචල්‍යයන් වන විට, x හි���ී f හි ප්‍රස්තාරයට ඇඳි ස්පර්ශක රේඛාවේ අනුක්‍රමණය, x හිදී f හි ව්‍යුත්පන්නයයි. f හි ප්‍රබවය හා ඉලක්කය ඒක මාන වන නිසා , f හි ව්‍යුත්පන්නය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ. x හා y දෛශික නම් එකවර දිශා කිහිපයකට f වෙනස් වන ආකාරය මත f හි නිවැරදිම රේඛීය ආසන්න කිරීම රඳා පවතී. එක් දිශාවකට ලබාගන්නා නිවැරදිම රේඛීය ආසන්න කිරීම , ආංශික අවකලනයක් නිර්ණය කරන අතර එය ∂y/∂x ලෙස නිරූපණය කරයි. එක්වර සෑම දිශාවකටම f හි රේඛීයකරණය සමස්ත අවකලය ලෙස හදුන්වයි. එය රේඛීය පරිණාමනයක් වන අතර එය f හි ප්‍රස්ථාරයට වඩාත් ආසන්න අධිතලය නිර්ණය කරයි. මෙම අධිතලය, අධිස්පර්ශණ අධිතලය ලෙස හදුන්වයි, සංකල්පිතව මෙය සියලුම දිශාවන්ට එකවර ස්පර්ශක රේඛා නිර්මාණයට සමාන වේ.

ස්පර්ශක රේඛාව අනුසාරයෙන් ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳ වන සංකල්පය ඉතා පැරණි එකකි. යුක්ලීඩ් (නූතන යුගයට පෙර ක්‍රි.පූ. 300 වැනි සියවසටම සමවේ) ආකිමිඩීස් (c. 287 BCE – 212 BCE) ආදී ග්‍රීක ජ්‍යාමිතිකකරුවන් මෙම සංකල්පය පිළිබඳ දැන සිටියහ. ආකිමිඩීස් විසින් අත්‍යණුක භාවිතය ද හඳුන්වාදෙන ලද අතර එය මූලිකව ක්ෂේත්‍රඵල සහ පරිමා අධ්‍යයනයට භාවිතා වූ අතර ව්‍යුත්පන්න සහ ස්පර්ශකව ආශ්‍රිතව එහි එතරම් ප්‍රයෝජනයක් නොවීය. (“ආකිමිඩීස්ගේ අත්‍යනුක භාවිතය” බලන්න) 500 CE (common Era - නූතන යුගය - මෙය ක්‍රි.ව. වලට සමවේ) තරම් ඈත කාලයේ පවා ඉන්දියානු ගණිතඥයින් විචලන සීඝ්‍රතා අධ්‍යයනයට අත්‍යනුක භාවිතා කළ බවට සාධක පවතී. තාරකා විද්‍යාඥයෙකු සහ ගණිතඥයෙකු වූ අයර්බාතා (476 – 550) සඳෙහි අධ්‍යයනය සඳහා අත්‍යණුක භාවිතා කර ඇත. බස්කාරා (1114 – 1185) විසින් විචලන සීඝ්‍රතා ගණනය කිරීම සඳහා අත්‍යානුක භාවිතය විශාල ලෙස වැඩි දියුණු කරන ලදී. මෙසේ ඔහු දක්වන ලද දායකත්වය කෙතරම්දයත් ඔහුගේ සොයා ගැනීම් තුළ අවකලනයේ බොහෝ මූලික අදහස් අන්තර්ගත බවට මත පළ වී ඇත. අයිසැක් නිවුටන් (1643 – 1727) සහ හොට් ෆ්‍රෙඩ් (1646 – 1716) වෙන වෙනම අවකලනය සහ ව්‍යුත්පන්න සඳහා සංගත පිවිසුමක් ඉදිරිපත් කළ අතර ඔවුහු නූතනව අවකලනයේ වර්ධනය ඇරඹූවන් ලෙස සැලකේ. මෙසේ සැලකීම සඳහා ප්‍රධාන හේතුව වූයේ අවකලනය සහ අනුකලනය එකිනෙක සම්බන්ධ කරමින් ඔවුන් ඉදිරිපත් කළ කලනයේ මූලික ප්‍රමේයයි. මේත සමඟම ක්ෂේත්‍රඵල හා පරිමා ගණනය කිරීමේ ක්‍රමවේද යල් පැන ගිය තත්වයට පත්විය. ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳව නිවුටන් සහ ලිබ්නිස් යන දෙදෙනා ඉදිරිපත් කළ අදහස් ඔවුනට පෙර ජීවත් වූ අයිසැක් බැරෝ (1630 – 1677) රේනේ ඩෙස්කාටේස් (1596 – 1650) ක්‍රිස්ටියන් හයිජන්ස් (1629 – 1695) බ්ලේස් පැස්කල් (1623 – 1662) සහ ජෝන් වැලිස් (1616 – 1703) ආදී ගණිතඥයන්ගේ වැදගත් සොයා ගැනීම් මත පදනම් වූ ඒවා විය. මේ අතරින් ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳ මූලික කරුණු ගොඩනැඟීම සම්බන්ධයෙන් ගෞරවය අයිසැක් බැරෝට හිමි යැයි පොදුවේ සැලකේ. කෙසේ වෙතත් ලිබ්නිස් සහ නිව්ටන් අවකලනය පිළිබඳව ඉතිහාසයේ ඉතා වැදගත් පුද්ගලයන් ලෙස සැලකේ. එසේ සැලකීමට හේතු වන කරුණු අතරට නිව්ටන් විසින් මුල්වරට සෛද්ධාන්තික භෞතික විද්‍යාව අවකලනය යෙදීමත් වර්තමානය දක්වා අවකලනයේ දී භාවිතා වන බොහෝ අංකන ක්‍රම ලිබ්නිස් විසින් ක්‍රමානුකූලව ගොඩනැඟීමත් යන ඒවා අයත් වේ. 17 වැනි සියවසේ පටන් අවකලන වාදය සඳහා බොහෝ ගණිතඥයින් දායක වී ඇත. ඔගස්ටින් ලුයිස් කෝච් (1789 – 1857), බර්නාඩ් රීමන් (1826 – 1866) සහ කාල් වස්ට්‍රස් (1815 – 1897) ආදී ගණිතඥයින් විසින් 19 වැනි සිය‍වසේ දී කලනය වඩාත් ශක්තිමත් ලෙස නඟා සිටුවන ලදී. තවද මෙම කාලසීමාව තුළ දී අවකලනය යුක්ලීඩියානු අවකාශය සහ සංකීර්ණ තුළ සාමාන්‍යකරණය කිරීමද සිදු විය.

${\displaystyle y=f(x)}$ ශ්‍රිතය ${\displaystyle x}$ විශයෙන් අවකලනය කිරීම

${\displaystyle y=f(x)-----------(1)}$

x හි ${\displaystyle {\partial x}}$ වෘද්ධියට අනුරූප ${\displaystyle y}$ හි වෘද්ධිය ${\displaystyle {\partial y}}$ නම්,

${\displaystyle y+\partial y=f(x+\partial x)-----------(2)}$

(2) - (1)

${\displaystyle {\partial y}=f(x+\partial x)-f(x).}$

${\displaystyle \lim _{x\to \partial x}{\partial y \over \partial x}=\lim _{x\to \partial x}{f(x+\partial x)-f(x) \over \partial x}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \partial x}{\partial y \over \partial x}={dy \over dx}=\lim _{x\to \partial x}{f(x+\partial x)-f(x) \over \partial x}=f(x)^{-}}$

${\displaystyle {\partial x}}$ ශුන්‍ය කරා එළඹෙන විට, ${\displaystyle {\partial x \over \partial y}}$ පරිමිත අගයක් කරා එළඹේ නම් ${\displaystyle y=f(x)}$ ශ්‍රිතය ${\displaystyle x}$ විශයෙන් අවකලනය කළ හැකි යැයි ද එම පරිමිත සීමාව, ${\displaystyle x}$ විෂයෙන් ${\displaystyle y}$ හි අවකලන සංගුණකය ලෙස ද හඳුන්වයි.