Matematika

Matematika (lat. [ars] mathematica < grč. μαϑηματιϰὴ [τέχνη]: matematičko [umijeće], prema μάϑημα: nauk; znanje),^[3] je nauka koja izučava prirodu koristeći logiku.^[4] Izučavane strukture najčešće potiču iz drugih prirodnih nauka, najčešće fizike, ali neke od struktura su definisane i izučavane radi internih razloga.^[5][6][7]

Istorijski, matematika se razvila iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji, i ove tri primjene se mogu dovesti u vezu sa grubom podjelom matematike u izučavanje strukture, prostora i izmjena.^[8]

Izučavanje strukture počinje sa brojevima, u početku sa prirodnim brojevima i cijelim brojevima.^[9] Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva cijelih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rješavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture koje generalizuju osobine koje posjeduju brojevi.^[10] Fizikalno važan koncept vektora se izučava u linearnoj algebri.

Izučavanje prostora je počelo sa geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Razumjevanje i opisivanje izmjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih nauka, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe.^[11] Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, i metodi razvijeni pri tome, se izučavaju u diferencijalnim jednačinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je skoncetrisana na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.^[12]

Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Važna oblast primjenjene matematike je vjerovatnoća i statistika koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Matematika se bavi proučavanjem brojeva. Njihovim proučavanjem je započeto i proučavanje struktura. Od svih skupova brojeva, najpre su formirani i proučavani prirodni brojevi, a zatim celi brojevi. Formirani su realni brojevi, kao brojeve koji predstavljaju kontinualne veličine. Iz matematičkih razloga uveden je koncept kompleksnih brojeva.

${\displaystyle 1,2,3,\ldots \!}$	${\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots \!}$	${\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!}$	${\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!}$	${\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!}$
Prirodni brojevi	Celi brojevi	Racionalni brojevi	Realni brojevi	Kompleksni brojevi

${\displaystyle p\Rightarrow q\,}$
Matematička logika	Teorija skupova	Teorija kategorija

Glavni članak: Algebra

Matematika se bavi proučavanjem struktura (matematičkih struktura), koje spadaju u granu matematike - algebru.

Algebra obuhvata:

${\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}$
kombinatorika	Teorija brojeva	Teorija grupa	Teorija grafova	Teorija nizova	Algebra

Izučavanje struktura je započeto proučavanjem brojeva.^[13] Na početku su formirani i proučavani prirodni brojevi i celi brojevi. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Glavni članak: Geometrija

Matematika se bavi proučavanjem prostora, koji spada u granu matematike - geometriju.

Geometrija obuhvata:

Geometrija	Trigonometrija	Diferencijalna geometrija	Topologija	Fraktalna geometrija	Teorija mera

Izučavanje prostora je započelo sa geometrijom. Najpre je nastala Euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije. Topologija izučava strukture u prostoru i njihove izmene pri neprekidnim preslikavanjima.^[14]

Glavni članak: Matematička analiza

Matematika se bavi proučavanjem beskonačno malih promena, koje spadaju u granu matematike - matematičku analizu.

Analiza obuhvata^[15]:

Analiza	Vektorska analiza	Diferencijalna analiza	Dinamički sistemi	Teorija haosa	Kompleksna analiza

Teorija diferencijalnog računa je razvijena iz potreba prirodnih nauka za razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su razvijene za opisivanje i proučavanje ovakvih problema se izučavaju u teoriji diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke analize.^[16] Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je usmerena na analiziranje n-dimenzionalnih prostora funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja stvarnih problema.

Primenjena matematika obuhvata:

Matematička fizika	Dinamika fluida	Numerička analiza	Optimizacija	Teorija verovatnoće	Statistika	Kriptografija
Finansijska matematika	Teorija igara	Matematička biologija	Matematička hemija	Matematička ekonomija	Teorija kontrole

Važna oblast primenjene matematike su verovatnoća i statistika koje se bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.^[17]

Glavni članak: Istorija matematike

Matematika se razvila iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji, i ove tri primjene se mogu dovesti u vezu sa grubom podjelom matematike u izučavanje strukture, prostora i izmjena.^[18]

Izučavanje strukture počinje sa brojevima, u početku sa prirodnim brojevima i cijelim brojevima. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva cijelih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rješavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture koje generalizuju osobine koje posjeduju brojevi. Fizikalno važan koncept vektora se izučava u linearnoj algebri.

Izučavanje prostora je počelo sa geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširila na ne-Euklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Razumjevanje i opisivanje izmjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih nauka, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe. Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, i metodi razvijeni pri tome, se izučavaju u diferencijalnim jednačinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je skoncetrisana na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Važna oblast primjenjene matematike je vjerovatnoća i statistika koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Skupovi brojeva

${\displaystyle 1,2,\ldots \,}$	${\displaystyle \ldots ,-1,0,1,\ldots \,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};0,125;\ldots \,}$	${\displaystyle \pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots \,}$	${\displaystyle i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots \,}$
Prirodni brojevi (N)	Cijeli brojevi (Z)	Racionalni brojevi (Q)	Realni brojevi (R)	Kompleksni brojevi (C)

Sve do kraja 16. veka glavne grane matematike bile su geometrija, i aritmetika. U 16. veku počela se razvijati algebra, a u 17. veku stvaranje diferencijalnog i integralnog računa označilo je početak intenzivnog razvoja analize, koji je svoj vrhunac postigao u 18. veku.^[19] Nastale Teorije diferencijalnih jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i nebeskoj mehanici.

Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije skupova u 19. veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine razvoja matematike 20. vek. U 20. veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.

Danas se matematika jako razvila i ima primjene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih znanosti. Važna grana primijenjene matematike je Statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička matematika izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za više grana matematike koja se velikim dijelom koriste kao alati u računarskim znanostima. Razvijena je i matematička teorija računarstva, kao i niz drugih interdisciplinarnih grana.

Također se prilično često pokazalo da razvoj matematike ne mora nužno pratiti razvoj fizike ili neke druge "konkretnije" znanosti, to jest matematika se može razvijati "sama za sebe", a primjena onoga što se dobije već se nađe tokom godina razvoja drugih znanosti (primjeri za to nisu odviše jednostavni, ali, recimo, Riemannov prostor je jedan primjer za to - razvio se sam po sebi, a primjenu je našao tek u teoriji relativnosti)

• "Ne bi li se muzika mogla opisati kao matematika osjećaja, a matematika kao muzika razuma? Njihov duh je isti. Tako glazbenik osjeća matematiku, a matematičar misli muziku. Jedna će pojačati osjećaj drugoj kad zasja ljudski um podignut u savršenstvo.", Vladimir Devidé
• "Matematika nije nipošto dosadna ili bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke koja uzvraća ljubav onom tko je voli i razumije", Vladimir Devidé
• "Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Tko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susjedima, ni sluge u općini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!", Platon
• "Matematika je simbol naše intelektualne snage i jamstva da će se ljudski um uvijek boriti za uzvišene ciljeve", Danilo Blanuša
• "Znanje kojem teži geometrija je znanje o vječnome.", Platon

• Analiza
• Algebra
• Aritmetika
• Geometrija
• Teorija Brojeva
• Logika
• Verovatnoća i statistika
• Numerička matematika
• Veliki matematičari
• Pitagorina teorema
• Stereometrija
• Monotonost funkcije
• Geometrijska interpretacija izvoda
• Rolova teorema
• Lagranžova teorema
• Fermaova teorema

• Matematički web portal
• Matematički in Turkey
• Matematička gimnazija
• Spisak domaćih matematičara