Фильтр Чебышёва

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышёва Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора

Фильтр Чебышёва^{[К 1]} — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Характеризуется колебаниями АЧХ в полосе пропускания. Аналитически АЧХ такого фильтра ${\displaystyle n}$-го порядка задаётся следующим выражением:

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}},}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — показатель пульсаций,

${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота среза,

${\displaystyle T_{n}(x)}$ — многочлен Чебышёва ${\displaystyle n}$-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра существуют пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) ${\displaystyle \varepsilon }$. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального ${\displaystyle G=1}$ до минимального ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}.}$ На частоте среза ${\displaystyle \omega _{0}}$ коэффициент усиления имеет значение ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}},}$ а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты на которой модуль коэффициента передачи снижается на 3 дБ в случае фильтра Чебышёва не применяется).

Для аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей и/или конденсаторов), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}.}$

Например, пульсации с амплитудой в 3 дБ соответствуют ${\displaystyle \varepsilon =1.}$

Более крутой спад АЧХ может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нули на мнимой оси ${\displaystyle j\omega }$ в комплексной плоскости. Это, однако, приведёт к менее эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный таким образом фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Для упрощения формул примем частоту среза фильтра равной единице. Полюса ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ фильтра Чебышёва являются нулями выражения в его знаменателе. Используя комплексную частоту ${\displaystyle s}$ получим:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.}$

Представив ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$ и используя тригонометрическое представление многочленов Чебышёва, получим:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=}$

${\displaystyle =1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.}$

После разрешения последнго выражения относительно ${\displaystyle \theta :}$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}.}$

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )=}$

${\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).}$

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \,\mathop {\mathrm {sh} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle +j\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m}),}$

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n,}$

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.}$

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром ${\displaystyle \theta _{n}.}$ Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в ${\displaystyle s}$-плоскости, причём центр эллипса находится в точке ${\displaystyle s=0,}$ полуось действительной оси имеет длину ${\displaystyle \mathop {\mathrm {sh} } (\mathop {\mathrm {arsh} } (1/\varepsilon )/n),}$ а полуось мнимой оси имеет длину ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ch} } (\mathop {\mathrm {arsh} } (1/\varepsilon )/n).}$

Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра ${\displaystyle G.}$ Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый с ним полюс, а для каждой комплексно-сопряжённой пары полюсов есть два полюса, отличающи��ся от них только знаком действительной части. Передато��ная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:

${\displaystyle H(s)=\prod _{m=0}^{n-1}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}},}$

где ${\displaystyle s_{pm}^{-}}$ — это только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

Групповая задержка определяется как минус производная по частоте сдвига фазы фильтра и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах:

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega )).}$

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазы фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временно́го смещения выходного сигнала относительно входного:

${\displaystyle \tau _{\varphi }={\frac {\arg H(j\omega )}{\omega }}.}$

Временны́е характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой отклик фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — отклик фильтра на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Фильтр Чебышёва II рода (или инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа электронных компонентов для реализации аналогового электронного фильтра с заданной крутизной спада. У него нет пульсаций в полосе пропускания, однако пульсации присутствуют в полосе подавления. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра задаётся выражением:

${\displaystyle G_{n}(\omega ,\;\omega _{0})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}}.}$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения в диапазоне от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}.}$

Минимальной частотой, при которой достигается максимум АЧХ является частота среза ${\displaystyle \omega _{0}.}$ Параметр ${\displaystyle \varepsilon }$ связан с затуханием в полосе подавления ${\displaystyle \gamma }$ в децибелах следующим выражением:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0,\!1\gamma }-1}}}.}$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ${\displaystyle \varepsilon =0,\!6801;}$

для затухания в 10 дБ: ${\displaystyle \varepsilon =0,\!3333.}$

Частота ${\displaystyle f_{C}=\omega _{C}/(2\pi )}$ является частотой среза.

Частота затухания на 3 дБ ${\displaystyle f_{H}}$ связана с ${\displaystyle f_{C}}$ следующим выражением:

${\displaystyle f_{H}=f_{C}\,\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {ch} } ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ фильтра Чебышёва:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.}$

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \,\mathop {\mathrm {sh} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle +j\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m}),}$

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n.}$

Нули ${\displaystyle (\omega _{zm})}$ фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.}$

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

${\displaystyle 1/s_{zm}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right),}$

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n.}$

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комплексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

Амплитудно-частотная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды лежат в полосе подавления, а не в полосе пропускания.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает зависимость от частоты фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазового сдвига на частоту и характеризует частотную зависимость временно́го запаздывания выходного сигнала относительно входного.

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над передаточной функцией каждого каскада записанной для аналогового фильтра осуществить билинейное преобразование. Результирующий фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка^{[источник не указан 2949 дней]}:

Z-преобразование каждого каскада:

${\displaystyle S(Z)={\frac {a(Z)}{b(Z)}}={\frac {\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot Z^{-1}+\alpha _{2}\cdot Z^{-2}}{1+\beta _{1}\cdot Z^{-1}+\beta _{2}\cdot Z^{-2}}}.}$

Во временно́й области преобразование записывается как:

${\displaystyle y[n]=\alpha _{0}\cdot x[0]+\alpha _{1}\cdot x[-1]+\alpha _{2}\cdot x[-2]-\beta _{1}\cdot y[-1]-\beta _{2}\cdot y[-2].}$

Коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle \beta _{i}}$ вычисляются по коэффициентам ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$^{[источник не указан 2949 дней]}:

${\displaystyle K=\mathop {\mathrm {tg} } \left(\pi {\frac {\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}}\right),}$

${\displaystyle {\mbox{temp}}_{i}=\cos {\frac {(2i+1)\pi }{n}},}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{\mathop {\mathrm {ch} } ^{2}\gamma -{\mbox{temp}}_{i}^{2}}},}$

${\displaystyle a_{i}=K\cdot b_{i}\cdot \mathop {\mathrm {sh} } \,\gamma \cdot 2\,{\mbox{temp}}_{i},}$

${\displaystyle \alpha _{0}=K\cdot K,}$

${\displaystyle \alpha _{1}=2\cdot K^{2},}$

${\displaystyle \alpha _{2}=K\cdot K,}$

${\displaystyle \beta _{0}^{\prime }=(a_{i}+K^{2}+b_{i}),}$

${\displaystyle \beta _{1}^{\prime }=2\cdot (b_{i}-K^{2}),}$

${\displaystyle \beta _{2}^{\prime }=(a_{i}-K^{2}-b_{i}),}$

${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{1}^{\prime }/\beta _{0}^{\prime },}$

${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{2}^{\prime }/\beta _{0}^{\prime }.}$

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

На рисунке представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов с пульсациями в полосе пропускания или полосе подавления равными 0,1 в сравнении с некоторыми другими часто используемыми фильтрами 5-го порядка.

По графикам видно, что амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышёва имеют более крутой спад, чем спад у фильтров Баттерворта, но не такой крутой спад, как у эллиптического фильтра.

• Гребенчатый фильтр
• Фильтр (электроника)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
• Цифровая обработка изображений
• Цифровая обработка сигналов

• Кривицкий Б. Х. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М. : Энергия, 1977.
• Лукас В. А. Теория автоматического управления. — M. : Недра, 1990.
• Daniels Richard W. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6.
• Higgins Richard J. Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X.
• Haykin S. Adaptive Filter Theory. — 4th ed. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1.
• Honig Michael L.; Messerschmitt David G. Adaptive Filters – Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA : Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0.
• Markel J. D.; Gray Jr. A. H. Linear Prediction of Speech. — New York : Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1.
• Oppenheim A. V.; Schafer R. W. Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5.
• Proakis John G.; Manolakis Dimitris G. Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X.
• Rabiner L. R.; Schafer R. W. Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1.
• Rabiner L. R.; Gold B. Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4.
• Rorabaugh Britton C. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7.
• Smith Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — 2nd ed. — San-Diego : California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1.
• Widrow B.; Stearns S. D. Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0.

• Как рассчитывать рекурсивные фильтры?  (неопр.) НГУ. Дата обращения: 14 февраля 2014. Архивировано из оригинала 30 ноября 2013 года.
• Классификация фильтров  (неопр.). Аналоговые измерительные устройства. Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Лекция по цифровой фильтрации  (неопр.). DSP.sut.ru. Дата обращения: 14 февраля 2014. Архивировано 12 марта 2007 года.
• Расчёт фильтра Чебышёва первого рода с примерами  (неопр.). Dsplib.ru. Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Расчёт фильтра Чебышёва второго рода с примерами  (неопр.). Dsplib.ru. Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Фильтры нижних частот  (неопр.). Gaw.ru (Рынок Микроэлектроники). Дата обращения: 14 февраля 2014.
• Chebyshev Filters  (неопр.). Texas Instruments. Дата обращения: 14 февраля 2014. Архивировано 5 августа 2012 года. (англ.)

Математика