Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике – это доказательство несуществования в теории чисел, единственное полное доказательство, оставленное Пьером Ферма[1]. Теорема имеет несколько эквивалентных формулировок:

Немедленным следствием последнего из приведённых утверждений является верность великой теоремы Ферма для показателя .

Формулировка

[править | править код]

Квадраты арифметических прогрессий

[править | править код]

В 1225 итальянскому математику Фибоначчи предложили найти способ построения троек квадратов, которые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, образуя арифметическую прогрессию[2]. Один из способов описания решения Фибоначчи – представить эти числа как разность катетов, гипотенузы и суммы катетов пифагоровой тройки, а шаг прогрессии тогда будет равен учетверённой площади этого треугольника[3]. В более поздней работе об этой проблеме, опубликованной в Книге квадратов[англ.], Фибоначчи заметил, что шаг арифметической прогрессии квадратов сам по себе не может быть квадратом, но не представил удовлетворительного доказательства этого факта[4][5].

Если бы три квадрата , и образовали арифметическую прогрессию, у которой шаг является также квадратом , то эти числа удовлетворяли бы диофантовым уравнениям

и .

В этом случае, по теореме Пифагора, они образовали бы два прямоугольных треугольника с целочисленными сторонами, в котором пара были бы катетом и гипотенузой меньшего треугольника и та же самая пара была бы катетами большего треугольника. Но если (как показал Фибоначчи) не существует квадратного шага в арифметической последовательности квадратов, то не может существовать двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, у которых две совпадающие стороны связаны таким образом[6].

Площади прямоугольных треугольников

[править | править код]

Поскольку шаг прогрессии квадратов равен четырём площадям пифагорова треугольника, а умножение на четыре не меняет, является ли число квадратом, существование квадратного шага в арифметической последовательности квадратов эквивалентно существованию пифагорова треугольника с площадью, равной квадрату целого числа. Это тот вариант, который рассматривал Ферма в своём доказательстве и в котором он показал, что таких треугольников не существует[1]. На эту задачу Ферма натолкнул не Фибоначчи, а чтение книги Диофанта, изданной Клодом Гаспаром Баше[1]. Эта книга описывает различные специальные прямоугольные треугольники[англ.], площадь которых связана с квадратами, но не предполагается, что является квадратами[7].

Преобразованием уравнений для двух пифагоровых треугольниках выше, а затем путём их перемножения, можем получить диофантово уравнение

которое можно упростить до

И обратно, любое решение этого уравнения можно разложить так, что получим квадратный шаг в арифметической последовательности квадратов. Таким образом, разрешимость этого уравнения эквивалентна существованию квадратного шага в арифметической последовательности квадратов. Но если бы великая теорема Ферма не была бы верна для экспоненты , то любой контрпример был бы теми самыми тремя квадратами, которые удовлетворяют уравнению. Таким образом, из доказательства Ферма, что не существует пифагорова треугольника с площадью, равной квадрату целого числа, вытекает, что уравнение не имеет решений, а потому (для этого случая) великая теорема Ферма верна[7].

Ещё одна формулировка той же проблемы использует конгруэнтные числа, числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. Умножая обе стороны на общий знаменатель, можно любое конгруэнтное число преобразовать в площадь пифагорова треугольника, откуда следует, что конгруэнтные числа – это в точности числа, получаемые умножением шага в арифметической последовательности квадратов на квадрат рационального числа. Таким образом, не существует квадратного шага в арифметической последовательности квадратов тогда и только тогда, когда число 1 не является конгруэнтным[8][9]. Эквивалентная формулировка: невозможно, чтобы квадрат (геометрическая фигура) и прямоугольный треугольник имели равную площадь и все стороны попарно соизмеримы (величины соизмеримы, если частное этих величин является рациональным числом)[5].

Эллиптическая кривая

[править | править код]

Ещё одна эквивалентная формулировка теоремы Ферма использует эллиптическую кривую, состоящую из точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

Это уравнение имеет очевидные решения (0,0), (1,0) и (−1,0). Теорема Ферма эквивалентна утверждению, что только у этих точек кривой обе координаты рациональны[9][10].

Доказательство Ферма

[править | править код]

В течение жизни Ферма предлагал некоторым другим математикам доказать несуществование пифагорова треугольника с площадью, являющейся квадратом, но сам доказательство не опубликовал. Однако он записал доказательство на полях изданной Клодом Баше «Арифметики» Диофанта, которое вскоре обнаружил и опубликовал посмертно его сын[1][5].

Доказательство Ферма использует метод бесконечного спуска. Он показал, что из любого экземпляра пифагорова треугольника с квадратной площадью можно получить такой же экземпляр с меньшей площадью. Поскольку пифагоровы треугольники имеют положительную целочисленную площадь, а бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел не существует, не может существовать и пифагоровых треугольников с площадью, являющейся квадратом целого числа[1][5].

Предположим, что , и являются целыми сторонами прямоугольного треугольника с площадью, являющейся квадратом целого числа. После деления на общие множители мы можем считать треугольник простым[5], а из известных формул для простых пифагоровых треугольников, можно полагать , и , в результате чего задача превращается в нахождение взаимно простых целых чисел и (одно из которых чётно), таких, что является квадратом. Четыре линейных множителя , , и взаимно просты, а потому сами должны быть квадратами. Пусть и . Важно заметить, что и , и должны быть нечётными, поскольку только одно из чисел или чётно, а другое нечётно. Таким образом, и , и чётны, и одно из них делится на 4. Из этих двух чисел Ферма получает два других числа, и , одно из которых чётно. Поскольку является квадратом, и являются катетами другого простого пифагорова треугольника, площадь которого равна . Поскольку само является квадратом, и поскольку чётно, является квадратом. Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство[1][7][5].

  1. 1 2 3 4 5 6 Г. Эдвардс. Последняя теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980. — С. 24; 1.6 Одно доказательство Ферма.
  2. Michael John. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. — Infobase Publishing, 2006. — С. 124. — ISBN 978-0-8160-5423-7.
  3. Albert H. Beiler. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. — Courier Corporation, 1964. — С. 153. — ISBN 978-0-486-21096-4.
  4. Øystein Ore. Number Theory and Its History. — Courier Dover Corporation, 2012. — С. 202–203. — ISBN 978-0-486-13643-1.
  5. 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers. — American Mathematical Society, 1999. — Т. 2. — С. 615–626. — ISBN 978-0-8218-1935-7.
  6. Joshua Cooper, Chris Poirel. Pythagorean Partition-Regularity and Ordered Triple Systems with the Sum Property. — 2008. — Т. 0809. — С. 3478. — Bibcode2008arXiv0809.3478C. — arXiv:0809.3478.
  7. 1 2 3 John Stillwell. Numbers and Geometry. — Springer, 1998. — С. 131–133. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98289-2.
  8. Keith Conrad. The congruent number problem // Harvard College Mathematical Review. — 2008. — Т. 2, вып. 2. — С. 58–73. Архивировано 20 января 2013 года.
  9. 1 2 Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Springer-Verlag, 1984. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-97966-2.
  10. Kazuya Kato, Takeshi Saitō. Number Theory: Fermat's dream. — American Mathematical Society, 2000. — С. 17. — ISBN 978-0-8218-0863-4.

Внешние ссылки

[править | править код]