Теорема Вейерштрасса — Стоуна
Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна .
Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов . В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат , распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T2-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.
Позднее найдены и другие обобщения результата
.Теорема Вейерштрасса
[править | править код]Пусть — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для всех из одновременно выполнено условие [1].
Если непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.
Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.
Схема доказательства Вейерштрасса
[править | править код]Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на ограниченной функции и четной положительной функции со сходящимся интегралом
при всех имеет место равенство
- .
Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен , но и что сходимость равномерная по , меняющемся на любом конечном отрезке.
В случае, когда , каждая функция из семейства:
вполне определена при всех комплексных и является целой. Поэтому её можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.
Если к тому же — периодическая функция с периодом , то функции являются целыми периодическими функциями. Но тогда:
является однозначной и голоморфной функцией в области и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:
- ,
поэтому , а значит и можно приблизить тригонометрическими многочленами.
Значение результата Вейерштрасса
[править | править код]В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции от говорят, когда каждому значению переменной , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение ; при этом не существенно, зависит ли от во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.
Топологические следствия
[править | править код]Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.
Обобщение Стоуна
[править | править код]В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца непрерывных на хаусдорфовом компакте вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте: . В качестве нормы равномерной сходимости на берётся , а алгебра Стоуна определяется как подалгебра , элементы которой разделяют точки .
Более точно, алгебра Стоуна — это множество функций из кольца , удовлетворяющее следующим условиям:
- вместе с любыми её элементами в алгебру Стоуна входят элементы: (), , ;
- алгебра Стоуна содержит постоянную функцию ;
- для каждой пары различных точек найдётся хотя бы одна функция такая, что .
Дальнейшие обобщения
[править | править код]Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Вейерштрасса — Стоуна теорема — статья из Математической энциклопедии. В. И. Пономарев
- Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полинома��и. — М.: Наука, 1977. — 512 с.