Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица)[1] — натуральные числа
, запись которых в системе счисления с основанием
состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются
:
,
,
и т. д., и общий вид для них:

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.
(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет, означают, что это новые простые числа в факторизациях Rn, которые не делят Rk для всех k < n[2])
R1 = |
1
|
R2 = |
11
|
R3 = |
3 · 37
|
R4 = |
11 · 101
|
R5 = |
41 · 271
|
R6 = |
3 · 7 · 11 · 13 · 37
|
R7 = |
239 · 4649
|
R8 = |
11 · 73 · 101 · 137
|
R9 = |
32 · 37 · 333667
|
R10 = |
11 · 41 · 271 · 9091
|
|
R11 = |
21649 · 513239
|
R12 = |
3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
|
R13 = |
53 · 79 · 265371653
|
R14 = |
11 · 239 · 4649 · 909091
|
R15 = |
3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
|
R16 = |
11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
|
R17 = |
2071723 · 5363222357
|
R18 = |
32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
|
R19 = |
1111111111111111111
|
R20 = |
11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
|
|
R21 = |
3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
|
R22 = |
112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
|
R23 = |
11111111111111111111111
|
R24 = |
3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
|
R25 = |
41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
|
R26 = |
11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
|
R27 = |
33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
|
R28 = |
11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
|
R29 = |
3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
|
R30 = |
3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
|
|
R31 = |
2791 · 6943319 · 57336415063790604359
|
R32 = |
11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
|
R33 = |
3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
|
R34 = |
11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
|
R35 = |
41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
|
R36 = |
32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
|
R37 = |
2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
|
R38 = |
11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111
|
R39 = |
3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
|
R40 = |
11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
|
|
- На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов
для n, равных[3]:
- 2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность A004023 в OEIS)
- Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.
- В результате умножения
при
получается палиндромическое число вида
из
цифр с цифрой
посередине.
- Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
- Всякое положительное кратное репьюнита
содержит не менее n ненулевых цифр.
- Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел:
. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.
В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого —
.
- Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
- Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
- Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. — № 5. — С. 28—29.
- Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.