Правильный косой многогранник

Правильный косой многогранник — это обобщение множества правильных многогранников, которое включает возможность непланарных граней или вершинных фигур. Коксетер рассматривал косые вершинные фигуры, которые создавали новые четырёхмерные правильные многогранники, а много позднее Бранко Грюнбаум рассматривал правильные косые грани.^[1]

Правильные косые многогранники не являются многогранниками в привычном смысле. Как Коксетер пишет в статье THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Правильные губки или косые многогранники), «Заполнение гранями отличается от конечных многогранников тем, что для них понятия внутри и снаружи совершено одно и то же. Такие заполнения помогают думать о многограннике как о поверхности, а не как о теле. Чтобы получить новые многогранники, нужно изловчиться, чтобы у вершины можно было разместить больше многоугольников, чем это разрешается кристаллографическими ограничениями (сумма углов при вершине меньше ${\displaystyle 2\pi }$)». Чтобы достичь такого эффекта, Петри разрешил рёбрам идти в другую сторону от плоскости, что приводит к губкам, то есть поверхностям с незакрытыми дырами (дыра одного многогранника закрывается дырой другого, так что все они образуют бесконечную губку)^[2].

Согласно Коксетеру в 1926 Джон Флиндерс Петри^[англ.] обобщил концепцию пространственных многоугольников (непланарных многоугольников) ^[3] в правильные косые многогранники.

Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} означает вершинную фигуру, m l-угольников вокруг вершины, а n — n-угольные дыры. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, пробегающими зигзагом между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные символом {l,m|n}, удовлетворяют равенству:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

Первое множество {l, m | n} представляет пять выпуклых платоновых тел и одно невыпуклое тело Кеплера — Пуансо:

A4 проекции плоскости Коксетера
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}
Рансинированный 5-ячейник[англ.] (60 рёбер, 20 вершин)	Глубокоусечённый 5-ячейник[англ.] (60 рёбер, 30 вершин)
F4 проекции плоскости Коксетера
{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}
Рансинированный 24-ячейник[англ.] (576 рёбер, 144 вершин)	Глубокоусечённый 24-ячейник[англ.] (576 рёбер, 288 вершин)
Некоторые из 4-мерных правильных косых многогранников укладываются в однородные многогранники, как показано на проекциях.

Коксетер также перечислил большое число конечных правильных многогранников в своей статье "regular skew polyhedra in three and four dimensions, and their topological analogues" (правильные косые многогранники в трёхмерном и четырёхмерном пространствах и их топологические аналоги).

Подобно как бесконечные косые многогранники представляют поверхность многообразия между ячейками выпуклых однородных сот^[англ.], конечные виды представляют поверхности многообразия в ячейках однородного 4-мерного многогранника^[англ.].

Многогранники вида {2p, 2q | r} связаны с группой Коксетера симметрии [(p,r,q,r)], которая сводится к линейной [r,p,r] при q, равном 2. Коксетер даёт этой симметрии обозначение [[(p,r,q,r)]⁺], которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2p,2q|2,r). Связанные соты имеют расширенную симметрию [[(p,r,q,r) ]] ^[4].

{2p,4|r} представляется {2p} гранями глубокоусечённого^[англ.] {r,p,r} однородного 4-мерного многогранника^[англ.], а {4,2p|r} представляется квадратными гранями струганного^[англ.] {r,p,r} (рансифицировнного).

{4,4|n} образует n-n дуопризму, и, в частности, {4,4|4} укладывается в {4}x{4} тессеракт.

{4,4| n} представляют квадратные грани дуопризм, с n-угольными гранями в качестве дыр и представляет тор Клиффорда и аппроксимацию двойного цилиндра	{4,4|6} имеет 36 квадратных граней и в перспективной проекции выглядит как квадраты, выбранные в 6,6 двойном цилиндре.	Кольцо из 60 треугольников образует правильный косой многогранник в подмножестве граней 600-ячейника.

Последнее множество основано на дальнейших расширенных форм Коксетера {q1,m|q2,q3...} или с q2 неспецифицированным: {l, m |, q}.

• Пространственный многоугольник
• Косой бесконечногранник^[англ.]

• Peter McMullen. Four-Dimensional Regular Polyhedra // Discrete & Computational Geometry September. — 2007. — Т. 38, вып. 2. — С. 355-387.
• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover Publications, Inc., 1973.. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296.
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6. Архивная копия от 11 июля 2016 на Wayback Machine
  • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • H.S.M. Coxeter. Regular and Semi-Regular Polytopes II // Math. Zeit. — 1985. — Вып. 188. — С. 559–591.
• H.S.M. Coxeter. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
  • H. S. M. Coxeter. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. // Proc. London Math. Soc.. — 1937. — Т. 43. — С. 33-62.
• C. W. L. Garner. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space // Canad. J. Math.. — 1967. — Т. 19. — С. 1179-1186.
• E. Schulte, J.M. Wills. On Coxeter's regular skew polyhedral // Discrete Mathematics. — 1986. — Т. 60, June–July. — С. 253–262.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — Т. 92. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 0-521-81496-0. — doi:10.1017/CBO9780511546686.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.