Область главных идеалов

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).

Элементы кольца главных идеалов в некотором смысле похожи на числа: для любого элемента существует единственное разложение на простые, для любых двух элементов существует наибольший общий делитель.

Области главных идеалов можно указать на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольца ${\displaystyle \supset }$ Области целостности ${\displaystyle \supset }$ Факториальные кольца ${\displaystyle \supset }$ Области главных идеалов ${\displaystyle \supset }$ Евклидовы кольца ${\displaystyle \supset }$ Поля

Кроме того, все области главных идеалов являются нётеровыми и дедекиндовыми кольцами.

• Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Кольцо многочленов над полем ${\displaystyle k-k[x]}$, а также кольцо формальных степенных рядов
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ — кольцо гауссовых целых чисел
• Кольцо целых чисел Эйзенштейна

Примеры целостных колец, не являющихся кольцами главных идеалов:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ — кольцо многочленов с целыми коэффициентами (идеал ${\displaystyle (2,x)}$ нельзя породить одним многочленом)
• Кольцо многочленов от двух переменных ${\displaystyle k[x,y]}$ (идеал ${\displaystyle (x,y)}$ не является главным)

Основной результат здесь — следующая теорема: если ${\displaystyle R}$ — область главных идеалов и ${\displaystyle M}$ — конечнопорожденный модуль над ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle M}$ разлагается в прямую сумму циклических модулей, то есть модулей, порожденных одним элементом. Поскольку существует сюръективный гомоморфизм из ${\displaystyle R}$ в циклический модуль над ним (отправляющий единицу в генератор), по теореме о гомоморфизме любой циклический модуль имеет вид ${\displaystyle R/xR}$ для некоторого ${\displaystyle x\in R}$.

В частности, любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен. Это неверно для произвольных колец, в качестве контрпримера можно привести вложение ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$-модулей ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X].}$

• Алгоритм Евклида
• Нормальная форма Смита

• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1