Метрика Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

[править | править код]

Пусть и суть два непустых компактных подмножества метрического пространства . Тогда расстояние по Хаусдорфу, , между и есть минимальное число такое, что замкнутая -окрестность содержит и также замкнутая -окрестность содержит .

  • Другими словами, если обозначает расстояние между точками и в то
  • Эквивалентное определение:
где обозначает функцию расстояния до множества .

Пусть обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства с метрикой Хаусдорфа:

  • Топология пространства полностью определяется топологией .
  • (Теорема выбора Бляшке) компактно тогда и только тогда, когда компактно .
  • полно тогда и только тогда, когда полное.

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
  • В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть и два компактных подмножества евклидова пространства, тогда определяется как минимум по всем движениям евклидова пространства . Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
  • Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература

[править | править код]
  • Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.
  • Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
  • Хаусдорф «Теория множеств»
  • Фейеш Тот, Ласло Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с. Тираж 4500 экз.