Локально выпуклое пространство

Локально выпуклое пространство — линейное топологическое пространство с системой полунорм, удовлетворяющей некоторым условиям.

Линейное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется локально выпуклым пространством, если существует семейство полунорм ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle X}$, удовлетворяющее двум условиям:

• Если ${\displaystyle p(x)=0}$ для каждого ${\displaystyle p\in \mu }$, то ${\displaystyle x=0}$.
• Если для произвольной точки ${\displaystyle x_{0}}$ пространства ${\displaystyle X}$, любой конечной системы полунорм ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ из ${\displaystyle \mu }$ и любой конечной системы положительных вещественных чисел ${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{n}}$ рассмотреть (выпуклые) множества, состоящие из элементов ${\displaystyle x\in X}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle p_{i}(x-x_{0})<\epsilon _{i}}$ с ${\displaystyle i=1,...,n}$, то все такие множества образуют базу топологии в ${\displaystyle X}$^[1].

• Последовательность ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ точек локально выпуклого пространства ${\displaystyle X}$ сходится к ${\displaystyle x\in X}$ в том и только том случае, если для каждой полунормы ${\displaystyle p\in \mu }$ выполняется соотношение ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p(x_{n}-x)=0}$.

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.