Квантовый эффект Холла в графене

Ква́нтовый эффе́кт Хо́лла в графене или необы́чный ква́нтовый эффе́кт Хо́лла — эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа или двумерного дырочного газа в сильных магнитных полях в графене. Этот эффект был предсказан теоретически^[1][2] и подтверждён экспериментально в 2005 году^[3][4].

Уровни Ландау в графене описываются уравнением Дирака для графена с учётом магнитного поля, которое можно записать в виде^[5]

${\displaystyle [{\vec {\sigma }}\cdot (i\hbar v_{F}{\vec {\nabla }}+e{\vec {A}}/c)]\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y)}$

где использована калибровка Ландау для векторного потенциала ${\displaystyle {\vec {A}}=(-By,0)}$, двумерный градиент равен ${\displaystyle {\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}})}$, а вектор ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ составлен из матриц Паули ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2})}$. В матричном виде уравнение запишется в виде

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-i\hbar v{\frac {\partial }{\partial x}}-\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy\\-i\hbar v_{F}{\frac {\partial }{\partial x}}+\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy&0\end{pmatrix}}\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y).}$

Здесь можно легко разделить переменные и в итоге прийти к спектру для релятивистских уровней Ландау

${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm \hbar {\tilde {\omega _{c}}}{\sqrt {n}}=\pm {\sqrt {\hbar v_{F}^{2}eB2n/c}},}$

где ${\displaystyle n=0,\,1,\,2,...}$, «циклотронная частота» равна ${\displaystyle {\tilde {\omega _{c}}}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B}}}}$, магнитная длина ${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB}}}.}$

Впервые необычный (англ. unconventional) квантовый эффект Холла наблюдали в работах^[3][4], где было показано, что носители в графене действительно обладают нулевой эффективной массой, поскольку положения плато на зависимости недиагональной компоненты тензора проводимости соответствовали полуцелым значениям холловской проводимости ${\displaystyle \nu =\pm (|n|+1/2)}$ в единицах ${\displaystyle 4e^{2}/h}$ (множитель 4 появляется из-за четырёхкратного вырождения энергии), то есть

${\displaystyle \sigma _{xy}=\pm {\frac {4e^{2}}{h}}\left(|n|+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Это квантование согласуется с теорией квантового эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов^[1]. Сравнение целочисленного квантового эффекта Холла в обычной двумерной системе и графене смотрите на рисунке 1. Здесь показаны уширенные уровни Ландау для электронов (выделение красным цветом) и для дырок (синий цвет). Если уровень Ферми находится между уровнями Ландау, то на зависимости холловской проводимости ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ наблюдается ряд плато. Эта зависимость отличается от обычных двумерных систем (аналогом может служить двумерный электронный газ в кремнии, который является двухдолинным полупроводником в плоскостях эквивалентных {100}, то есть тоже обладает четырёхкратным вырождением уровней Ландау и холловские плато наблюдаются при ${\displaystyle \nu =4|n|}$).

Квантовый эффект Холла (КЭХ) может использоваться как эталон сопротивления, потому что численное значение наблюдаемого в графене плато равное ${\displaystyle h/2e^{2}}$ выполняется с хорошей точностью, хотя качество образцов уступает высокоподвижному ДЭГ в GaAs, и, соответственно, точности квантования. Преимущество КЭХ в графене в том, что он наблюдается при комнатной температуре^[6] (в магнитных полях свыше 20 Т). Основное ограничение на наблюдение КЭХ при комнатной температуре накладывает не само размытие распределения Ферми-Дирака, а рассеяние носителей на примесях, что приводит к уширению уровней Ландау.

Из-за отсутствия запрещённой зоны в графене в структурах с ��ерхним затвором можно сформировать непрерывный p-n-переход, когда напряжение на верхнем затворе позволяет инвертировать знак носителей, задаваемый обратным затвором в графене, где концентрация носителей никогда не обращается в ноль (кроме точки электронейтральности) и нет области лишённой носителей как в обычных p-n-переходах. В таких структурах тоже можно наблюдать квантовый эффект Холла, но из-за неоднородности знака носителей значения холловских плато отличаются от приведённых выше. Для структуры с одним p-n-переходом значения квантования холловской проводимости описываются формулой^[7]

${\displaystyle G={\frac {2e^{2}}{h}}{\frac {|\nu ^{'}||\nu |}{|\nu ^{'}|+|\nu |}},}$

где ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \nu ^{'}}$ — факторы заполнения в n- и p- области соответственно (p-область находится под верхним затвором), которые могут принимать значения ${\displaystyle \pm 2,\pm 6,\pm 10}$ и т. д. Тогда плато в структурах с одним p-n-переходом наблюдаются при значениях 1, 3/2, 3, 5/3 и т. д. Такие значения плато были наблюдены в эксперименте.^[8]

Для структуры с двумя p-n-переходами^[9] соответствующие значения холловской проводимости равны

${\displaystyle G={\frac {e^{2}}{h}}{\frac {|\nu ^{'}||\nu |}{2|\nu ^{'}|+|\nu |}}={\frac {2}{3}},{\frac {6}{5}},{\frac {6}{7}},...(\nu \nu ^{'}<0).}$

В работе^[10] наблюдается спиновое расщепление релятивистских уровней Ландау и снятие четырёхкратного вырождения для наинизшего уровня Ландау вблизи точки электронейтральности. Для объяснения этого эффекта предложено несколько теорий^[11].

• Квантовый эффект Холла