Изоэдральное тело
Изоэдральный многогранник (также гранетранзитивный многогранник) размерности 3 или выше — это многогранник, все грани которого одинаковы, также удовлетворяющий некоторым дополнительным ограничениям. Более точно, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны принадлежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая переводит A в B. По этой причине правильные игральные кости имеют форму выпуклых изоэдральных многогранников[1].
Изоэдральные многогранники называются изоэдрами[англ.]. Они могут быть описаны их конфигурацией граней. Изоэдральное тело, имеющее правильные вершины, является также рёберно транзитивным телом (изотоксальным) и говорят, что оно является квазиправильным двойственным — некоторые теоретики считают эти тела истинно квазиправильными, посокольку они сохраняют те же симметрии, но это принимают не все исследователи.
Изоэдральный многогранник имеет двойственный многогранник, являющийся вершинно транзитивным (изогональным). Каталановы тела, бипирамиды и трапецоэдры все изоэдральны. Они дуальны изогональным архимедовым телам, призмам и антипризмам соответственно. Правильные многогранники, которые либо самодвойственны, либо двойственны другим платоновым телам (правильным многогранникам), вершинно-, рёберно- и гранетранзитивны (изогональны, изотоксальны и изоэдральны). Изоэдральный и изогональный многогранник одновременно называется благородным многогранником[англ.].
Примеры
[править | править код] Шестиугольная бипирамида[англ.] V4.4.6 является примером неправильного изоэдрального многогранника. |
 Изоэдральная каирская пятиугольная мозаика, V3.3.4.3.4 |
 Ромбододекаэдральные соты[англ.] являются примером изоэдральных (и изохорных) заполняющих пространство сот. |
k-изоэдральное тело
[править | править код]Многогранник является k-изоэдральным, если он содержит k граней в его фундаментальной области симметрии[2].
Аналогично, k-изоэдральная мозаика имеет k отдельных орбит симметрии (и может содержать m граней различной формы для некоторого m < k)[3].
Моноэдральный (имеющий грани одного вида) многогранник или моноэдральная мозаика (m=1) имеют конгруэнтные грани. r-эдральный многогранник или мозаика имеет r типов граней (они также называются диэдральными, триэдральными и так далее для m=2, 3, …)[4].
Несколько примеров k-изоэдральных многогранников и мозаик с раскраской граней в k симметричных позициях:
| 3-изоэдральный | 4-изоэдральный | изоэдральный | 2-изоэдральный |
|---|---|---|---|
| (2-эдральные) многогранники с правильными гранями | Моноэдральные многогранники | ||
|
|
|
|
| Ромбокубооктаэдр имеет один тип треугольников и два типа квадратов | Удлинённый квадратный гирокупол имеет один тип треугольников и три типа квадратов. | Дельтоидальный икоситетраэдр имеет один тип граней. | Псевдодельтоидальный икоситетраэдр[англ.] имеет 3 типа граней. |
| 2-изоэдральная | 4-изоэдральная | изоэдральная | 3-изоэдральная |
|---|---|---|---|
| (2-эдрадьные) мозаики с правильными гранями | Монождральные мозаики | ||
|
|
|
 |
| Пифагорова мозаика имеет квадраты 2 размеров. | 3-однородная мозаика имеет 3 типа одинаковых треугольников и квадраты одного вида. | Узор «ёлочкой»[англ.] имеет правильные грани одного типа. | Пятиугольная мозаика имеет 3 типа идентичных неправильных пятиугольных граней. |
Связанные понятия
[править | править код]Ячейно транзитивное или изохорное тело является n-мерным многогранником (n>3) или сотами, которые имеют конгруэнтные и переходящие друг в друга с помощью симметрии (то есть транзитивные) ячейки.
Гранетранзитивное или изотопное тело (изотоп) является n-мерной фигурой или сотами с конгруэнтными и транзитивными фасетами ((n-1)-гранями). Двойственный многогранник изотопа является изогональным многогранником. По определению, это изотопное свойство является общим для двойственных тел однородных многогранников.
- Изотопная 2-мерная фигура является изотоксальной (рёбернотранзитивной).
- Изотопное 3-мерное тело является изоэдральным (гранетранзитивным).
- Изотопное 4-мерное тело является изохорным (ячейнотранзитивным).
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ McLean, 1990, с. 243–256.
- ↑ Socolar, 2007, с. 33–38.
- ↑ Kaplan, 2009, с. 35.
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1987, с. 20, 23.
Литература
[править | править код]- Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — С. 367 Transitivity. — ISBN 0-521-55432-2.
- Joshua E. S. Socolar. Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large k // The Mathematical Intelligencer. — 2007. — Т. 29. — С. 33–38. — doi:10.1007/bf02986203.
- Craig S. Kaplan. Chapter 5 «Isohedral Tilings» // Introductory Tiling Theory for Computer Graphics. — 2009.
- B. Grünbaum, G.C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
- K. Robin McLean. Dungeons, dragons, and dice // The Mathematical Gazette. — 1990. — Т. 74, вып. 469. — .
Ссылки
[править | править код]- Olshevsky, George. «Isotope». Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
- Weisstein, Eric W. Isohedral tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Isohedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|