Аффинная комбинация

Аффинная комбинация — линейная комбинация заданных векторов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$,

сумма коэффициентов в которой равна 1, то есть:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1}$.

Операция взятия аффинной комбинации коммутирует с любым аффинным преобразованием ${\displaystyle T}$ в том смысле, что:

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}Tx_{i}}}$.

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек заданного аффинного преобразования ${\displaystyle T}$ является также неподвижной точкой ${\displaystyle T}$, так что множество неподвижных точек ${\displaystyle T}$ образует аффинное подпространство (в трёхмерном пространстве: прямая или плоскость, а в тривиальных случаях, точка или всё пространство).

Когда стохастическая матрица ${\displaystyle A}$ действует на вектор-столбец ${\displaystyle B}$, результатом будет вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями элементов ${\displaystyle B}$ с коэффициентами из строк матрицы ${\displaystyle A}$.

Специализация понятия — выпуклая комбинация, для которой дополнительно требуется неотрицательность скалярных коэффициентов в линейной комбинации.

• Jean Gallier. Глава 2 // Geometric Methods and Applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95044-0.
• Notes on affine combinations.

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставить сноски, внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.