Cubica Tschirnhausen

În geometria algebrică cubica Tschirnhausen este o curbă plană, definită în forma sa cu deschiderea la stânga de ecuația polară

${\displaystyle r=a\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)}$

unde sec este funcția secantă.^[1]

Este o trisectoare.^[1]

Curba a fost studiată de Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, Guillaume de l'Hôpital și Eugène Charles Catalan. Numele de „cubica Tschirnhausen” i-a fost dat de către Raymond Clare Archibald într-o lucrare din 1900. Mai este cunoscută sub numele de „cubica lui L'Hôpital” sau „curba trisectoare a lui Catalan”, care i-a stabilit expresia în coordonate carteziene.^[1]

Fie ${\displaystyle t=\tan(\theta /3)}$. Aplicând formula lui Moivre se obține^[1]

${\displaystyle x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)}$

${\displaystyle =a(1-3t^{2})}$

${\displaystyle y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)}$

${\displaystyle =at(3-t^{2})}$

forma parametrică a curbei. În coordonate carteziene parametrul t poate fi eliminat ușor, obținându-se^[1]

${\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}$.

Dacă curba este translată orizontal cu 8a și semnele variabilelor sunt modificate, ecuațiile curbei care rezultă cu deschidere la dreapta sunt^[1]

${\displaystyle x=3a(3-t^{2})}$

${\displaystyle y=at(3-t^{2})}$

și în coordonate carteziene

${\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)}$.

Asta dă forma alternativă în coordonate polare

${\displaystyle r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)}$.

Cubica Tschirnhausen este o spirală sinusoidală cu ${\displaystyle n=-1/3}$.

• Trisecțiunea unghiului

• en Eric W. Weisstein, Tschirnhausen Cubic la MathWorld.

Portal Matematică

• en "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics archive
• en Tschirnhausen cubic at mathcurve.com