Processo de nascimento e morte

Um processo de nascimento e morte é um caso especial do processo de Markov de tempo contínuo em que as transições de estado são de apenas dois tipos: "nascimentos", que aumentam a variável de estado em um, e "mortes", que diminuem o estado em um.^[1] O nome do modelo vem de uma aplicação comum, o uso de tais modelos para representar o tamanho atual de uma população em que as transições são nascimentos e mortes literais. Processos de nascimento e morte têm muitas aplicações em demografia, teoria das filas, engenharia de desempenho, epidemiologia e biologia.^[2] Eles podem ser usados, por exemplo, para estudar a evolução das bactérias, o número de pessoas com uma doença no interior de uma população ou o número de clientes em uma fila em um supermercado.^[3]

Quando um nascimento ocorre, o processo vai do estado ${\displaystyle n}$ ao estado ${\displaystyle n+1}$. Quando uma morte ocorre, o processo vai do estado ${\displaystyle n}$ ao estado ${\displaystyle n-1}$. O processo é especificado por taxas de nascimento ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$ e taxas de morte ${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$:

Um processo de nascimento puro é um processo de nascimento e morte em que ${\displaystyle \mu _{i}=0}$ para todo ${\displaystyle i\geq 0}$.

Um processo de morte puro é um processo de nascimento e morte em que ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ para todo ${\displaystyle i\geq 0}$.

Um processo de Poisson (homogêneo) é um processo de nascimento puro em que ${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda }$ para todo ${\displaystyle i\geq 0}$.

O modelo ${\displaystyle M/M/1}$ e o modelo ${\displaystyle M/M/c}$, ambos usados em teoria das filas, são processos de nascimento e morte usados para descrever cliente em uma fila infinita.^[4]

Em teoria das filas, o processo de nascimento e morte é o exemplo mais fundamental de um modelo de fila, a fila ${\displaystyle M/M/C/K/\infty /FIFO}$ (em notação de Kendall completa). Esta é uma fila com chegadas de Poisson, retiradas a partir de uma população infinita, ${\displaystyle C}$ servidores com tempo de serviço exponencialmente distribuído e ${\displaystyle K}$ lugares na fila. Apesar do pressuposto de uma população infinita, este modelo é bom para vários sistemas de telecomunicações.^[5]

Ver artigo principal: Fila M/M/1

A fila ${\displaystyle M/M/1}$ é uma fila com um único servidor com um buffer de tamanho infinito. Em um ambiente não aleatório, os processos de nascimento e morte em modelos de fila tendem a ser médias a longo prazo, de modo que a taxa média de chegada é dada como ${\displaystyle \lambda }$ e o tempo médio de serviço é dado como ${\displaystyle 1/\mu }$. O processo de nascimento e morte é uma fila ${\displaystyle M/M/1}$ quando:

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ e }}\mu _{i}=\mu {\text{ para todo }}i.}$

As equações de diferença para a probabilidade de que o sistema esteja no estado ${\displaystyle k}$ no tempo ${\displaystyle t}$ são:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t).}$

A fila ${\displaystyle M/M/c}$ é uma fila multiservidor com ${\displaystyle C}$ servidores e um buffer infinito. Esta difere da fila ${\displaystyle M/M/1}$ apenas no tempo de serviço, que agora se torna:

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu {\text{ para }}i\leq C}$

e

${\displaystyle \mu _{i}=C\mu {\text{ para }}i\geq C}$

com

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ para todo }}i.}$

A fila ${\displaystyle M/M/1/K}$ é uma fila com um único servidor com um buffer de tamanho ${\displaystyle K}$. Esta fila tem aplicações em telecomunicações, assim como em biologia, quando uma população tem um limite de capacidade. Em telecomunicações, nós usamos novamente os parâmetros a partir da fila ${\displaystyle M/M/1}$ com:

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ para }}0\leq i<K,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0{\text{ para }}i\geq K,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu {\text{ para }}1\leq i\leq K.}$

Em biologia, particularmente no crescimento de bactérias, quando a população é zero, não há habilidade de crescer, então:

${\displaystyle \lambda _{0}=0.}$

Adicionalmente, se a capacidade representar um limite em que a população morre devido à superpopulação:

${\displaystyle \mu _{K}=0.}$

As equações diferenciais para a probabilidade de que o sistema esteja no estado ${\displaystyle k}$ no tempo ${\displaystyle t}$ são:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t){\text{ para }}k\leq K,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=0{\text{ para }}k>K.}$^[6]

Diz-se que uma fila está em equilíbrio se o limite ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }p_{k}(t)}$ existir. Para que isto seja o caso, ${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)}$ deve ser zero.

Usando a fila ${\displaystyle M/M/1}$ como um exemplo, as equações de estado estável (estado de equilíbrio) são:

${\displaystyle \lambda _{0}p_{0}(t)=\mu _{1}p_{1}(t),}$

${\displaystyle (\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t).}$

Se ${\displaystyle \lambda _{k}=\lambda }$ e ${\displaystyle \mu _{k}=\mu }$ para todo ${\displaystyle k}$ (o caso homogêneo), isto pode ser reduzido a:

${\displaystyle \lambda p_{k}(t)=\mu p_{k+1}(t){\text{ para }}k\geq 0}$

Em um tempo pequeno ${\displaystyle \Delta t}$, apenas três tipos de transições são possíveis: uma morte, um nascimento ou nenhuma morte e nenhum nascimento. Se a taxa de ocorrências (por unidade de tempo) for ${\displaystyle \lambda }$ e aquela para mortes for ${\displaystyle \mu }$, então as probabilidades para as transições acima são ${\displaystyle \lambda \Delta t}$, ${\displaystyle \mu \Delta t}$ e ${\displaystyle 1-(\lambda +\mu )\Delta t}$ respectivamente. Para um processo de população, o "nascimento" é a transição rumo a um crescimento da população em 1, enquanto a "morte" é a transição rumo a um decrescimento do tamanho da população em 1.^[7]

• Processo de Moran
• Teoria das filas
• Unidade Erlang