Saltar para o conteúdo

Matriz idempotente

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. [1][2] Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se [3]. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

  • Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.[4]
  • Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
  • Se uma matriz A é idempotente, a matriz também é.[3]

Matriz de projeção

[editar | editar código-fonte]

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.[5] Seja uma matriz de dimensão com posto . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

, onde denota a matriz transposta de X e denota a matriz inversa da matriz . Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que [6].

  • Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes e de tal forma que , então
:[7]

Por exemplo, sejam as matrizes . Então,


  • A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)[7]:
  • P é sempre positiva semi-definida.
  • Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

Matriz de aniquilação

[editar | editar código-fonte]
  • Matriz de aniquilação: . Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que .[6]

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

, sendo matrizes, poderemos definir
e

E então podemos estimar os coeficientes separadamente[8]:

  1. Chiang, Alpha C. (1984), p. 80.
  2. Greene, William H. (2003), pp. 808–809.
  3. a b CHEN, Mei Yuan (2003)
  4. WOOLDRIDGE, p. 104.
  5. WOOLDRIDGE
  6. a b HAYASHI, Fumio (2000), p. 18
  7. a b HANSEN, Bruce (2011) p. 77
  8. HANSEN, Bruce (2011) p. 80


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.