Invariante

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Em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um conjunto de transformações. Mais formalmente uma entidade é considerada invariante sob um conjunto de transformações se a imagem transformada da entidade é indistinguível da entidade original. A propriedade de ser invariante se conhece como invariança ou invariância.

Matemáticos dizem que uma grandeza é invariante "sob" uma transformação; alguns economistas dizem que é invariante "para" uma transformação.

Mais genericamente, dado um conjunto X com uma relação de equivalência ${\displaystyle \sim }$ sobre ele, uma invariante é a função ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ que é constante sobre classes equivalente: não depende sobre o elemento particular. Equivalentemente, reduz-se a uma função sobre o quociente ${\displaystyle \,X/\sim }$.

A definição de invariante da transformação é um caso especial disto, onde a relação equivalente é "há uma transformação que torna um no outro".

Em teoria das categorias, toma-se objetos pelo isomorfismo; cada functor define um invariante, mas não cada invariante é functorial (por exemplo, o centro de um grupo não é functorial).

Em aproximações computacionais, toma-se apresentações de objetos pelo isomorfismo, tais como apresentações de grupos ou conjuntos simples pelo homeomorfismo do espaço topológico subjacente.

Em análise complexa, o conjunto ${\displaystyle X}$ é chamada invariante progressivo sob ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle f(X)=X}$, e invariante regressivo se ${\displaystyle f^{-1}(X)=X}$. Um conjunto é completamente invariante sob ${\displaystyle f}$ se ele é tanto um invariante progressivo como regressivo sob ${\displaystyle f}$.

Um exemplo fácil de invariância é a distância entre dois pontos em uma reta, esta não se altera ao somar uma mesma quantidade a ambos os pontos; quer dizer que é invariante sob a soma, mas se os multiplicamos por uma mesma quantidade (exceto o 1), modifica-se a distância; então não é invariante na multiplicação.

A simetria também pode ser considerada uma forma de invariância.

• Teoria dos invariantes

• The Diamond Theorem - Steven H. Cullinane (em inglês)
• Invariant em mathworld.wolfram.com (em inglês)

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