Curva de perseguição

Na matemática, curva de perseguição é a curva que descreve a trajetória de um ponto, o perseguidor, que se move em direção a outro, o perseguido. A curva descrita por esse último é definida como curva de fuga, podendo ser uma reta, no caso mais simples. Foi estudada pelo matemático francês Pierre Bouguer, em 1732. Contudo, o termo 'curva de perseguição' foi definido pelo matemático George Boole em 1859 no livro Treatise on Differential Equations (pág 246) ^[1] .

Duas condições devem ser especificadas para definir uma Curva de Perseguição:

O perseguidor move-se apontando sempre diretamente para o perseguido;
A velocidade do perseguidor é diretamente proporcional à do perseguido.

Exemplos clássicos para modelar a Curva são o de um gato caçando um rato, uma raposa perseguindo um coelho, ou a trajetória de um míssil teleguiado perseguindo o alvo.

Equação diferencial de uma curva de perseguição

Sejam $x,y$ as coordenadas de um ponto perseguidor, e $x',y'$ as coordenadas simultâneas do ponto perseguido. Seja a equação do caminho dado

f(x',y')=0\quad (1)

Note que o ponto perseguido é sempre tangente ao caminho dado pelo ponto perseguidor, cujas coordenadas satisfazem a equação da tangente.Então:
$y'-y={\frac {dy}{dx}}\left(x'-x\right)\quad (2)$
Por fim, sendo as velocidades dos dois pontos uniformes, o arco correspondente será obtido pela razão constante entre as velocidades com os quais eles. Então, se a velocidade do ponto perseguidor estiver para o ponto perseguido com $n:1$ , teremos:

n\times {\sqrt[{}]{(dx'^{2}+dy'^{2})}}={\sqrt[{}]{(dx^{2}+dy^{2})}}

,

ou, tomando x como uma variável independente,

n\times {\sqrt[{}]{\left({\frac {dx'}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt[{}]{\left(1+{\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad (3)

O sinal a ser dado em cada radical pode ser positivo ou negativo, de acordo com a tendência do movimento crescer ou diminuir no arco correspondente.

De $(2)$ e $(3)$ , quando a forma da função $f(x',y')$ é determinada, $x'$ e $y'$ podem ser encontrados em termos de $x,y$ e ${\frac {dy}{dx}}$ , e esses valores nos permitem reduzir $(1)$ para uma equação entre $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ . Resta apenas resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Se os sinais dos radicais são ambos mudados, o movimento em cada curva é simplesmente invertido, e a curva de perseguição torna-se uma curva de fuga. Mas a equação diferencial permanece inalterada, bem como a forma da curva, apenas com suas relações invertidas.

Exemplo

Uma partícula que parte de um ponto do eixo das abcissas, a uma distância $a$ da origem, e move-se uniformemente em uma direção vertical paralela ao eixo das ordenadas, é perseguido por uma partícula que parte simultaneamente da origem cuja velocidade é de razão $n:1$ . Queremos saber o caminho do perseguidor.^[2]

Solução

A equação do caminho da primeira partícula dado por $x'=a$ , por $(2)$ , é

y'-y={\frac {dy}{dx}}(a-x)

,

então,

y'=y+{\frac {dy}{dx}}(a-x)

.

Assim nós temos que

{\frac {dy'}{dx}}=0,\quad {\frac {dy'}{dx}}=(a-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},

e a equação diferencial, sendo ambos radicais positivos, é

n(a-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\sqrt[{}]{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad (a)

.

Então,

{\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt[{}]{1+({\frac {dy}{dx}})^{2}}}}={\frac {1}{n(a-x)}}

.

Multiplicando por $dx$ e integrando

{\frac {dy}{dx}}+{\sqrt[{}]{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=c(a-x)^{1/n}

Logo,

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left(c(a-x)^{1/n}-{\frac {1}{c}}(a-x)^{1/n}\right)

Disso, se $n$ não for igual a $1$ ,

{\frac {1}{2}}\left({\frac {c(a-x)^{1-{\frac {1}{n}}}}{{\frac {1}{n}}-1}}+{\frac {1}{c}}{\frac {(a-x)^{1+{\frac {1}{n}}}}{1+{\frac {1}{n}}}}\right)+c'\quad (b)

mas se $n$ for igual a $1$ , teremos, ao substituir $C$ por ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{c}}-c\right),$

disso,

y={\frac {C(x-a)^{2}}{2}}+c'\quad (c)

que é representado por uma parábola.

O problema do Rato

No problema do rato, cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho ^[3] ^[4] de polígonos proporcionais ao original.