Constante de Gauss

Em matemática, a constante de Gauss, denotada pela letra G, é definida como o inverso da média aritmética-geométrica de 1 e raiz quadrada de dois:^[1][2][3][4]

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots }$^{[nota 1]}

O epónimo dessa constante é o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, porque, em 30 de maio de 1799, descobriu que:^[5][6][7][8]

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

sendo que:

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}$

donde B denota a função beta de Euler.

A Constante de Gauss pode ser expressa usando o valor da função beta em (1/4, 1/2):

${\displaystyle \Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

ou novamente, graças ao valor da função gama em 1/4:

${\displaystyle G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}}$

e como π e Γ(1/4) são algebricamente independentes, a Constante de Gauss é transcendental.

A Constante de Gauss também pode ser usada na definição das Constantes de Lemniscata.

• A primeira constante é:

${\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}$

• A segunda constante é:

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}$

que surgem em problemas de cálculo de comprimento do arco de uma lemniscata.

A Constante de Gauss também pode ser expressa usando a função teta de Jacobi:

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })}$.

Uma série rapidamente convergente para a Constante de Gauss é:

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}}$.

A constante também é dada por um produto infinito:

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)}$.

A Constante de Gauss tem fração contínua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …]^{[nota 2]}

Notas

Referências

• Janet Barnett (2020). A Gaussian tale for the classroom editor=Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.). Col: Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques (em inglês) 1 ed. Basel, Suíça: Birkhäuser Verlag. pp. 139–155. ISBN 978-3-030-31196-4. OCLC 1240212492. doi:10.1007/978-3-030-31298-5  !CS1 manut: Falta pipe (link)
• Jonathan Borwein; David H. Bailey (2008). Mathematics by experiment (em inglês) 2 ed. Flórida, EUA: CRC Press. ISBN 978-1-56881-442-1. OCLC 494547277. doi:10.1201/b10704 
• David A. Cox (1984). «The arithmetic-geometric mean of Gauss» (pdf). L'Enseignement mathématique. 2 (em inglês): 275-330. OCLC 937363834. doi:10.5169/seals-53831 .
• Pierre Eymard; Jean-Pierre Lafon (1956). «Le Journal mathématique de Gauss» (pdf). Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1 (em francês): 21-51. JSTOR 23904695. OCLC 4649261821. doi:10.3406/rhs.1956.4346 .
• Xavier Gourdon (2020). Analyse (em francês). Paris: Éditions Ellipses. ISBN 978-2-340-03856-1. OCLC 1160201780 .
• Hamza Khelif (30 de junho de 2010). «Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli». Images des mathématiques (em francês). Centre national de la recherche scientifique .