Operassion

Consideroma n'ansem E (ëd sòlit nen veuid). As dis operassion (binaria), o laj ëd composission anterna ansima a E qualsëssìa fonsion

${\displaystyle f:E\times E\to E}$,

andoa ${\displaystyle E\times E}$ a l'é 'l prodot cartesian d'E për chiel-midem.

L'operassion a assòcia donca a minca cobia ordinà ${\displaystyle (a,b)\in E\times E}$ n'element ${\displaystyle c=f(a,b)\in E}$ ch'as ciama arzultà dl'operassion f aplicà a la cobia ordinà (a,b).

Si ${\displaystyle \circ }$ a l'é n'operassion ansima a n'ansem E, soens as deuvra la notassion mesan-a, an ëscrivend ${\displaystyle a\circ b}$ pitòst che ${\displaystyle \circ (a,b)}$.
An dotand n'ansem E ëd n'operassion ${\displaystyle \circ }$ as oten n'esempi dë strutura algébrica ${\displaystyle (E,\circ )}$.

Si ${\displaystyle \circ }$ a l'é n'operassion an sl'ansem E e ${\displaystyle A\subseteq E}$, as dis che A a l'é stàbil rëspet a l'operassion si ${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b\in A}$.

• Ant la strutura ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ l'ansem dij nùmer cobi a l'é stàbil, përchè l'adission ëd doi nùmer cobi a l'é sempe 'n nùmer cobi. Nopà, l'ansem dij nùmer dëscobi a l'é nen ëstàbil.
• Ant la strutura ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$ l'ansem dij nùmer cobi e l'ansem dij nùmer dëscobi a son tuti doi stàbij, përchè la multiplicassion ëd doi nùmer cobi a l'é cobia e la multiplicassion ëd doi nùmer dëscobi a l'é dëscobia.

Consideroma n'operassion ${\displaystyle \circ }$ definìa an sn'ansem E. A peul esse anteressant ëstudié vàire propietà che l'operassion a peul sodësfé.

As dis che l'operassion ${\displaystyle \circ }$ a l'é associativa si

${\displaystyle \forall a,b,c\in E,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$.

Ant ës cas-sì, a-i é nen damanca ëd buté le paréntesi cand as fan d'aplicassion sucessive dl'operassion: i podoma bele mach ëscrive

${\displaystyle a\circ b\circ c}$

dagià che col ch'a sia l'órdin anté che j'operassion a son calcolà, l'arzultà a cambia pa. L'istess a resta vàlid s'i l'oma pì che un terno d'element.

Na strutura algébrica dotà ëd n'operassion associativa a l'é ciamà semistrop.

J'element a,b as diso përmutàbij si ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$.
As dis che l'operassion ${\displaystyle \circ }$ a l'é comutativa si

${\displaystyle \forall a,b\in E,a\circ b=b\circ a}$.

N'element ${\displaystyle u\in E}$ a l'é dit neutral (o idèntich, o indiferent) për l'operassion ${\displaystyle \circ }$ si

${\displaystyle \forall a\in E,u\circ a=a\circ u=a}$.

Si la strutura ${\displaystyle (E,\circ )}$ a l'ha n'element neutral, a-i në j'é mach un: an efet, si u e v a fusso tuti doi d'element neutraj, i l'avrìo

${\displaystyle u=u\circ v=v}$.

Notassion comun-e për andiché l'element neutral an na strutura a son 1 (o ${\displaystyle 1_{E}}$, ciamà un) cand l'operassion a l'é denotà ëd fasson multiplicativa ${\displaystyle \cdot }$, opura 0 (o ${\displaystyle 0_{E}}$, ciamà zero) si l'operassion a l'é scrivùa ëd fasson aditiva +.

N'element ${\displaystyle u\in E}$ a l'é sit surbent për l'operassion ${\displaystyle \circ }$ si

${\displaystyle \forall a\in E,u\circ a=a\circ u=u}$.

Esempi d'element surbent a son 0 për la multiplicassion e ${\displaystyle \emptyset }$ për l'antërsession.

A-i é ëd propietà anteressante ch'a rësguardo vàire operassion considerà ansema.

Ch'as consìdero doe operassion ${\displaystyle \circ _{1}}$ e ${\displaystyle \circ _{2}}$ tute doe definìe ansima a E.

As dis che ${\displaystyle \circ _{1}}$ a l'é distributiva rëspet a ${\displaystyle \circ _{2}}$ si, për tuti j'${\displaystyle a,b,c\in E}$,

${\displaystyle a\circ _{1}(b\circ _{2}c)=(a\circ _{1}b)\circ _{2}(a\circ _{1}c)}$

e

${\displaystyle (a\circ _{2}b)\circ _{1}c=(a\circ _{1}c)\circ _{2}(b\circ _{1}c)}$.

Consideroma n'operassion ${\displaystyle \circ _{1}}$ ansima a n'ansem ${\displaystyle A_{1}}$ e n'operassion ${\displaystyle \circ _{2}}$ ansima a n'ansem ${\displaystyle A_{2}}$. Na fonsion ${\displaystyle \mu :A_{1}\to A_{2}}$ a l'é dita morfism ëd le struture ${\displaystyle (A_{1},\circ _{1}),(A_{2},\circ _{2})}$ s'a l'é compatìbil con j'operassion, visadì

${\displaystyle \forall a,b\in A_{1},\mu (a\circ _{1}b)=\mu (a)\circ _{2}\mu (b)}$.

• La fonsion

${\displaystyle \mu :\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\mu (x)=2x}$

a l'é 'n morfism antra le struture ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ e ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$, ma nen antra le struture ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$ e ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$.

• La fonsion esponensial

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

a l'é un morfism antra le struture ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ e ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\cdot )}$.

Ch'as consìdera un morfism ${\displaystyle \mu :A_{1}\to A_{2}}$ antra le struture ${\displaystyle (A_{1},\circ _{1}),(A_{2},\circ _{2})}$.

• La plancia ${\displaystyle \mu (A_{1})\subseteq A_{2}}$ a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'${\displaystyle A_{2}}$.
• Si x,y a son element përmutàbij d'${\displaystyle A_{1}}$, antlora μ(x),μ(y) a son element përmutàbij d'${\displaystyle A_{2}}$.
• Si u a l'é element neutral d'${\displaystyle A_{1}}$, antlora μ(u) a l'é element neutral d'${\displaystyle A_{2}}$.